Эксперимент не удался

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Эксперимент не удался

И.АКУЛИЧ

ВПРОШЛОМ ГОДУ В ОДНОМ ЛИЦЕЕ ОРГАНИЗОВАЛИ МАТЕ- матический вечер, на котором всем школьникам предложили проделать следующий опыт: «Возьмите год своего рождения, запишите его цифры в обратном порядке и сложите с исходным числом. Цифры полученной суммы также запишите в обратном порядке и вычтите из большего числа меньшее. Результат должен делиться на 99». Троечник Петя так и сделал, но перепутал порядок действий и сначала нашел разность, а уж потом – сумму. Поэтому эксперимент не удался. Какой результат у него получился?

• • • Начнем с примера. Пусть Петя родился, скажем, в 1999 году. Если бы он выполнял действия в нужном порядке, то сначала он получил бы сумму 1999 + 9991= = 11990. Это число в обратном порядке даст 09911, т.е. 9911, и искомая разность – 11990 – $9911 = 2079 = 99 \cdot 21$ – и вправду делится на 99. А если действия перепутаны, сначала Петя получит число 9991 – 1999 = 7992, а потом число 7992 + 2997 = = 10989. Но это число равно $99 \cdot 111$, т.е. тоже делится на 99. Пока непонятно, ни почему эксперимент удается при правильном порядке, ни почему он мог не сработать у Пети, когда тот действия перепутал.

Предлагаем желающим ответить на вопросы самостоятельно, а потом свериться с нашим объяснением.

• • • Решение задачи (как и планета Земля) держится на трех китах – вспомогательных теоремах. Вот они. 1-й кит. Если цифры четырехзначного числа записать в обратном порядке и сложить с исходным числом, то результат будет делиться на 11. Доказательство таково. Обозначим цифры четырехзначного числа (слева направо) буквами a, b, c и d. Тогда оно равно 1000a + 100b +10c + d, «обращенное» число равно 1000d + 100c +10b + a, а их сумма составит 1001a + 110b +110c + 1001d, что явно делится на 11 (ибо каждое слагаемое делится на 11). (А вообще-то утверждение верно для любого числа из четного количества цифр, но нам другое количество цифр не понадобится.) 2-й кит. Если цифры числа, делящегося на 11, записать в обратном порядке, то результат тоже будет делиться на 11. Доказательство этого кита базируется на следующем признаке делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на четных и нечетных местах, кратна 11 (доказывать этот признак здесь не будем – он широко известен и часто встречается в литературе). Очевидно, суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах, при записи цифр в обратном порядке не изменятся, и потому разность между ними как была кратна 11, так и останется. 3-й кит. Если переписать цифры числа в любом другом порядке и вычесть из исходного числа, то результат будет делиться на 9. Эта теорема моментально вытекает из признака делимости на 9, поэтому и здесь задерживаться не будем. Итак, сначала разберемся, почему должен был непременно получиться требуемый результат, если все действия выполнять как полагается. В самом деле, год рождения любого школьника – четырехзначное число, поэтому после сложения его с «обращенным» годом получится число, делящееся на 11 (1-й кит!). Далее, если цифры этого числа записать в обратном порядке, то результат тоже будет делиться на 11 (2-й кит!). Поэтому после вычитания из большего числа меньшего разность также поделится на 11. Кроме того, она поделится и на 9 (3-й кит!). Поэтому окончательный результат действительно должен делиться на $11 \cdot 9 = 99$.