Каскады из правильных многогранников

Каскады из правильных многогранников

Правильные многогранники (рис. 1) с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их поражали красота, совершенство, гармония этих многогранников.

Рис. 4

Рис. 5

В куб можно вписать тетраэдр, при этом вершины тетраэдра будут лежать в вершинах куба (рис. 6). В свою очередь, куб можно вписать в додекаэдр так, чтобы вершины куба лежали в вершинах додекаэдра (рис. 7).

Рис. 1

Здесь мы расскажем, как правильные многогранники можно вписывать друг в друга. Вписывая один многогранник в другой, другой – в третий и т.д., можно получать красивые «каскады» правильных многогранников. В куб можно вписать октаэдр (рис. 2). Центры граней куба образуют вершины вписанного в него октаэдра.

Рис. 2

Рис. 6

Рис. 7

При вписывании одного правильного многогранника в другой вершины первого могут лежать на серединах ребер второго. Так в правильный тетраэдр можно вписать октаэдр (рис. 8).

Рис. 3

В свою очередь, центры граней октаэдра образуют вершины вписанного в него куба (рис. 3). Многогранники, обладающие таким свойством, называются взаимно двойственными. Другим примером взаимно двойственных правильных многогранников являются додекаэдр и икосаэдр (рис. 4, 5).

Рис. 8

Рис. 9

Более сложным способом в куб вписывается икосаэдр: середины ребер икосаэдра лежат в центрах граней куба (рис. 9). Попробуйте вычислить отно-

шение ребер куба и икосаэдра в этой конфигурации. Аналогичным образом в куб можно вписать додекаэдр (рис. 10).

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 10

Оказывается, комбинируя рассмотренные случаи, в любой правильный многогранник можно вписать все остальные правильные многогранники. Скажем, из рисунков 11 и 12 видно, как в додекаэдр вписать тетраэдр и октаэдр. Это означает, что из правильных многогранников можно сделать «каскады», вписывая их друг в друга

Рис. 14

Рис. 17

Рис. 15

Рис. 18

Рис. 13

в любом порядке. Например, на рисунке 13 изображен каскад «тетраэдр – октаэдр – додекаэдр – куб». Еще несколько каскадов изображено на рисунках 14–19.

Рис. 16

Рис. 19

Материал подготовили И.Смирнова, В.Смирнов

36

КВАНТ 2015/№3

витка перпендикулярно его плоскости. На рисунке 9 показаны два семейства магнитных линий этой системы. Линии одного семейства обвивают прямой провод, а линии второго – круговой виток. Видно, что магнитные линии имеют винтовую структуру. Попробуем понять, почему это так.

провода не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. В этом случае имеется три семейства магнитных линий (рис.10): линии, охватывающие первый провод, охватывающие второй провод и охватывающие оба провода. Все магнитные линии не замкнуты и уходят своими концами в бесконечность. Пусть теперь у нас имеются неплоские токовые системы конечных размеров, например два взаимно перпендикулярных круговых витка с током (рис.11). Здесь картина магнитных линий радикально изменяется: она теряет ка-

Рис. 9. Магнитные линии в системе кругового и прямого токов

Рассмотрим сначала магнитную линию вблизи кругового витка. Если ток в прямом проводе равен нулю, то магнитное поле создается только круговым током. Магнитные линии этого поля являются простыми петлями, навитыми на круговой виток и замыкающимися за один оборот. В другом предельном случае, когда равен нулю ток в круговом витке, источником магнитного поля является ток в прямом проводе. Магнитные линии этого поля – окружности, перпендикулярные прямому проводу. Теперь понятно, что если оба тока отличны от нуля, то магнитные линии вблизи кругового витка будут винтовыми и каждая из линий будет многократно огибать круговой виток (см. рис.9). Интересно, что лишь в редких случаях винтовая линия замыкается, чаще всего она плотно заполняет некоторую тороидальную поверхность («бублик»), не имея ни начала, ни конца. Так, если мы из некоторой точки начнем рисовать винтовую магнитную линию, то она, совершив полный оборот вокруг прямого провода, не попадет в исходную точку. Так же будет происходить и на каждом следующем обороте. В результате получим полубесконечную винтовую линию, исходящую из заданной точки. Но аналогичным образом мы можем достроить эту магнитную линию, стартуя из исходной точки в обратном направлении. Вот и получим линию, не имеющую ни начала, ни конца и плотно заполняющую поверхность тора. Рассмотрим теперь магнитное поле двух прямых длинных скрещивающихся под углом $90^\circ$ проводов с током – эти

Рис. 11. Хаотические магнитные линии

кую-либо структуру и «запутывается». Так, если начинать строить две магнитные линии из двух близко расположенных точек, то лишь на начальном участке эти линии проходят близко друг к другу, а затем они расходятся на большое расстояние. Такая сверхчувствительность к начальным условиям характерна для хаотических процессов: небольшие различия в начальных условиях рождают огромные различия в конечном состоянии. Теоретическое предсказание в этом случае становится невозможным. Удивительно, что хаотическое поведение магнитных линий происходит при строго определенных (детерминированных) внешних условиях, которые определяются конфигурацией проводников и токов. Подобные явления относятся к так называемому детерминированному, или динамическому, хаосу. Хаотический характер магнитных линий не является исключением, а характерен для большинства токовых систем, и лишь в некоторых простейших случаях магнитные линии являются простыми замкнутыми кривыми. Но даже в случае простейших систем, например кругового витка с током, картина магнитных линий существенно изменяется с учетом слабого практически однородного магнитного поля Земли.

Заключение Завершая статью, попробуем выделить главное, что хотелось бы оставить себе «на заметку» о магнитных линиях: i Магнитные линии не имеют истоков и стоков, однако это не означает, что магнитные линии всегда являются замкнутыми кривыми. i Вблизи проводов магнитные линии близки к окружностям, но не обязательно геометрически точно замыкаются. i В дальней зоне, на большом расстоянии от проводов с токами, картина магнитных линий имеет простой вид. i В промежуточной области, при умеренных расстояниях от проводов с токами, магнитные линии часто имеют запутанный, хаотический вид и лишь в редких случаях замыкаются. При этом достаточно малого нарушения исходной симметрии, чтобы линии разомкнулись и «запутались».

Рис. 10. Магнитные линии двух одинаковых токов в скрещенных проводах