Задачи 6—10

Квант 2015, №5-06 с. 28-29 Тег 964D

КВАНТ 2015/№5-6

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: [email protected] (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

Петя называет натуральное число удачным, если его можно единственным образом разбить в сумму 20 различных натуральных слагаемых (порядок слагаемых не важен). Найдите все удачные числа. Фольклор
Рейтинг каждого из 20 шахматистов выражается натуральным числом от 1 до 20, у любых двух рейтинги различны. Шахматисты поделены на две команды по 10 человек так, что суммы рейтингов в командах равны. Команды играют матч-турнир из 100 партий, в котором каждый шахматист играет по одной партии с каждым из 10 шахматистов противоположной команды. В любой партии побеждает шахматист с большим рейтингом, за каждую победу своего игрока команда получает 1 очко. Каков может быть результат матч-турнира? П. Кожевников, по мотивам задачи В. Произволова
В «Кванте» № 1 за 1987 год младшим школьникам было предложено расшифровать вот такой ребус, придуманный тогдашним девятиклассником Г.Сафиным, в котором одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры и ни одно число не начинается с нуля: ШЕПНУЛ $\times 5 =$ КРИКНУЛ Он имеет два решения, в которых слову ШЕПНУЛ

соответствуют числа 628750 и 682750. Но если пятерку заменить другой цифрой, ребус будет иметь единственное решение. Какая это цифра? И. Акулич

Дан квадрат ABCD. Через вершину C провели прямую m, не имеющую других общих точек с квадратом (см. рисунок). Точки E и F – проекции точек B и D соответственно на прямую m. Отрезки BF и DE пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK перпендикулярна прямой m. В. Расторгуев
На квадратном клетчатом поле 10 ¥ 10 расположена эскадра из 10 кораблей. Корабли – это не имеющие общих точек прямоугольники 1 ¥ 2 со сторонами по линиям сетки. а) Докажите, что можно сделать 32 выстрела так, чтобы наверняка попасть в какой-нибудь корабль. б) А можно ли обойтись 30 выстрелами? А. Бердников, Д. Кузнецов

Как дятел Спятел планировал отпуск

К.КОХАСЬ

–П

ОЧТИ НЕ ОСТАЛОСЬ МЕСТ, ГДЕ МОЖНО спокойно отдохнуть, – жаловался дятел Спятел. – Чтобы отдохнуть на море – летят на юг, за экзотикой – на восток, к благам цивилизации – на запад. – Суета, толчея, яблоку некуда упасть, – поддакнула мышь Огрыза. – Экстремалы двигают на север – к медведям и тюленям. Но я хочу провести отпуск не в таких условиях! Я ищу неисхоженных путей! Я решил полететь туда, куда никто не летит: на северо-восток! – На северо-восток? – переспросила Огрыза. – Там же ничего нет! – Вот именно! – воскликнул дятел. – Спокойное тихое место. – Кстати, а как быстро ты летаешь? – поинтересовалась Бусенька. – Крейсерская скорость 28 километров в час, – гордо

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

сказал дятел. – Я могу лететь с этой скоростью хоть целые сутки. – Любопытно, – сказала Бусенька, – получается, что если ты, к примеру, полетишь прямо сейчас, то через час окажешься в 28 км к северо-востоку отсюда. Это примерно 20 км к северу и 20 км к востоку отсюда. Значит, за час ты смещаешься на 20 км к северу. До северного полюса примерно 3000 км, если будешь лететь по 10 часов в сутки, то недельки через две как раз и доберешься до северного полюса. – Северный полюс? Вообще-то я не планировал оказаться на северном полюсе… С другой стороны, это же ровно то, что мне нужно! Экстремалы, медведи и тюлени так далеко на север не забираются. А я как раз ищу спокойствия и уединения. – Странное место – этот ваш северный полюс, – перебила Огрыза, – там со всех сторон юг. Куда ни пойди – если не сворачивать, окажется, что движешься к южному полюсу! В наших краях не так – если идти по любому северному азимуту, к примеру двигать по курсу норд-вест-вест, как говорила одна моя знакомая корабельная крыса, обязательно придешь на северный полюс! Бусенька нам это вполне убедительно объяснила. Получается, что у нас пути к северному полюсу занимают половину всех возможных направлений, а другую половину – пути к южному! – Просто голова идет кругом, – то ли похвалил, то ли пожаловался дятел. – Еще как идет, – подтвердила Бусенька. – Вот

ШКОЛЬНИКОВ

представь себе, что ты уже почти прилетел на северный полюс, всего несколько километров осталось. Для столь малых расстояний мы можем считать, что земля в этом месте плоская. И вот, к примеру, из точки $A_{1}$ ты за 1 минуту перелетел в точку $A_{2}$ , которая в 2 раза ближе к северному полюсу, чем $A_{1}$ . – Какой хороший план, – сказал дятел, – пожалуй, именно этим маршрутом я и полечу. – Погоди, допустим, что на моей (весьма приблизительной) картинке угол $A_{1} OA_{2}$ равен $40^\circ$ (кстати, похоже, он примерно этому и равен). Таким образом, приблизившись к северному полюсу в 2 раза, ты при этом повернешься вокруг земной оси приблизительно на $40^\circ$ . – Да, именно так все и будет, – согласился дятел, – но я не буду задерживаться в точке $A_{2}$ и полечу дальше. – И через некоторое время ты повернешься вокруг земной оси еще на $40^\circ$ , оказавшись при этом в точке $A_{3}$ , – сказала Бусенька. – Как ты думаешь, сколько тебе потребуется времени, чтобы добраться до точки $A_{3}$ ? Дятел Спятел задумался. – Судя по картинке и исходя из здравого смысла, – сказал наконец он, – вот этот кривоватый треугольник $A_{1} OA_{2}$ имеет такую же форму, как треугольник $A_{2} OA_{3}$ . Отличаются они только размерами – у второго треугольника сторона $OA_{2}$ в 2 раза меньше, чем соответствующая сторона $OA_{1}$ первого треугольника. Значит, и кривая сторона, вдоль которой мне нужно лететь, у него тоже в два раза меньше. Значит, я пролечу ее за полминуты. – Вот это-то и ужасно! – воскликнула Бусенька. – Бедный дятлушка, – подхватила Огрыза, – ты бы лучше выбрал какое-нибудь другое место для отдыха. Ведь еще через четверть минуты ты прилетишь в точку $A_{4}$ , потом еще через 1/8 минуты в точку $A_{5}$ и так далее! – Вы хотите сказать, что я так и не долечу до северного полюса? Что я так и буду плутать по этим точкам – $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ … Не путайте меня. Историю о том, как черепаха гналась за Ахиллесом, я уже слышал. Если за одну минуту я пролетел половину расстояния до северного полюса, то еще через минуту я уже буду на месте! – Да, но с какой стороны ты прилетишь? – спросила Бусенька. – С юго-западной. – На северном полюсе нет юго-западной стороны, – строго сказала Огрыза. – Вылетев из точки $A_{2}$ , ты через полминуты прилетишь в точку $A_{3}$ , повернувшись вокруг земной оси на $40^\circ$ , еще через четверть минуты – опять повернешься на $40^\circ$ , через 1/8 минуты – опять на $40^\circ$ и так далее. Значит, чтобы достичь северного полюса, тебе придется сделать бесконечно много оборотов! Пару минут назад ты говорил, у тебя голова кружится? – Ох, – сказал дятел, – очень кружится. Кажется, меня укачало. Вернее, укрутило. Опасное это занятие – летать на северо-восток!