Чертим кривые второго порядка!
В этом «Калейдоскопе» мы расскажем о некоторых приспособлениях, позволяющих точно чертить кривые второго порядка: параболы, эллипсы, гиперболы.
Параболограф Кавальери
Этот элегантный способ рисования параболы придумал итальянский математик Бонавентура Кавальери (итал. Bonaventura Francesco Cavalieri, лат. Cavalerius, 1598 – 1647) еще в 17 веке. Описание конструкции. По неподвижной относительно листа линейке скользит прямой угол так, что одна из его сторон (горизонтальная) постоянно соприкасается с линейкой (рис.1). У второго прямого угла вершина с грифелем скользит вдоль вертикальной стороны первого, а стороны скользят так, что все время проходят через штыри, один из которых жестко закреплен на линейке, а другой – на горизонтальной стороне подвижного угла.
Рис. 2
Рис. 3
делением параболы (линейка – директриса, красная кнопка – фокус).
Эллипсографы
Рис. 1
Обоснование. Рассмотрим треугольник, образованный сторонами второго угла и линейкой. В нем квадрат длины высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Одна из проекций по конструкции постоянна (красный отрезок на рисунке 1) и является параметром, определяющим параболу (выведите отсюда ее уравнение).
Рисование параболы с помощью нити
Описание конструкции. По неподвижной относительно листа линейке скользит угольник так, что один из катетов (горизонтальный) постоянно соприкасается с линейкой. Один конец нити закрепляется в вершине угольника, не лежащей на линейке, другой конец нити закреплен кнопкой на листе бумаги. Карандаш прижимает нить к катету угольника так, чтобы она всегда была натянута (рис. 2, 3). Обоснование. Допустим, длина нити равна длине вертикального катета (в качестве упражнения предлагаем свести общий случай к этому частному случаю). Тогда грифель всегда равноудален от линейки и кнопки на листе. Это согласуется с геометрическим опре-
Описание конструкции. На линейке закреплены два штыря и грифель, штыри скользят по двум перпендикулярным пазамнаправлениям. На рисунке 4 грифель M делит отрезок между штырями на отрезки длиной a и b (в частном случае a = b получится окружность – см. знаменитую задачу «котенок на лестнице» из книги Рис. 4 Н.Б.Васильева, В.Л.Гутенмахера «Прямые и кривые»), на рисунке 5 грифель К расположен вне отрезка между штырями. К линейке можно прикрепить