Решения задач М2405—М2413; Ф2413—Ф2419

17

ЗАДАЧНИК

поверхность поставили вертикальную цилиндрическую трубу с внутренним диаметром d = 10 см. Высота трубы равна H. Источник света и датчик освещенности находятся на оси симметрии трубы. Внутренние стенки трубы гладкие, зеркальные и отражают 100% света. Какую теперь освещенность $E_{2}$ регистрирует датчик? Что покажет датчик, если стенки при любом угле падения света отражают 99% падающего света? (Численные расчеты можно провести с помощью компьютера.) М.Светлов

Решения задач М2405–М2413, Ф2413–Ф2419

M2405. Прямая, соединяющая центры описанной и вписанной окружностей треугольника, пересекает одну из его сторон в основании высоты, а другую – в точке ее касания с соответствующей вневписанной окружностью. Найдите угол между этими сторонами треугольника.

Решение см. в статье А.Заславского «О двух классах треугольников, или Откуда берутся задачи» в этом номере журнала.

M2406. Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если: а) k = 9; б) k = 8?

а) Ответ. Необязательно. Удалим числа 1, 2,…, 9. Тогда сумма даже девяти наименьших из оставшихся чисел (10 + 11 +… + 18 = = 126) больше 100. б) Ответ. Обязательно. Рассмотрим 12 пар чисел, дающих в сумме 25: (1, 24), (2, 23),…, (12, 13). После удаления 8 чисел останется не меньше четырех нетронутых пар. Они и дадут в сумме 100. А.Шаповалов

M2407. Все коэффициенты некоторого многочлена целые и по модулю не превосходят 2015. Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем 1/2016.

Решение см. в статье С.Дориченко, П.Кожевникова «От подстановки корня до трансцедентного числа» в этом номере журнала.

M2408. В треугольнике ABC медианы $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ пересекаются в точке M. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$ и точка M лежат на одной окружности.

Пусть $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ – центры описанных окружностей треугольников $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$ соответственно. Проведем рассуждения для расположения точек, показанного на рисунке (для других случаев расположения центров рассуждения аналогичны; чтобы избежать разбора случаев, можно считать все углы ориентированными).

«КВАНТА»

Докажем, что $O_{4}$ лежит на окружности $( MO_{1} O_{3} ).$ Прямая $O_{1} O_{3}$ – серединный перпендикуляр к $MA_{0}$. Угол $MO_{1} O_{3}$ равен половине центрального угла $MO_{1} A_{0}$ окружности $( MA_{0} B_{0} ),$ т.е. вписанному в нее углу $MB_{0} A_{0}$. Прямая $O_{4} O_{3}$ – серединный перпендикуляр к отрезку $MC_{0}$, поэтому угол между прямыми $MO_{4}$ и $MO_{3}$ равен половине центрального угла $MO_{4} C_{0}$ окружности $( MBC_{0} ),$ т.е. вписанному в нее углу $MBC_{0}$. А углы $MB_{0} A_{0}$ и $MBC_{0}$ равны из параллельности $B_{0} A_{0}$ и $BC_{0}$. Поэтому – $MO_{1} O_{3} +$ – $MO_{4} O_{3} = 180 \infty$, т.е. $O_{4}$ лежит на окружности $( MO_{1} O_{3} ).$ Аналогично, $O_{2}$ лежит на окружности $( MO_{1} O_{3} ).$ П.Кожевников

M2409. Из спичек сложен клетчатый квадрат 9 ¥ 9, сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Вася по очереди убирают по спичке, начинает Петя. Выиграет тот, после чьего хода не останется целых квадратиков 1 ¥ 1. Кто может действовать так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Ответ. Вася. Заметим, что перед Васиным ходом всегда будет оставаться нечетное число спичек. Понятно, что выиграет тот, кому достанется позиция, когда квадратиков один или два смежных (по стороне). Поэтому Васе достаточно не оставлять после себя такой позиции, и тогда он выиграет, поскольку ничья невозможна. Покажем, как он может делать это в разных случаях. 1) Осталось больше трех квадратиков. Он возьмет крайнюю спичку, испортив не более одного квадратика. 2) Осталось три квадратика. Он возьмет спичку не из них, а если таких спичек нет, то из-за нечетности числа спичек ясно, что два квадратика смежны, а третий несмежен с ними, тогда он испортит один из смежных квадратиков. 3) Осталось два квадратика и они несмежны. Из-за нечетности есть спичка, в них не входящая, которую и возьмет Вася. Все позиции рассмотрены. А.Шаповалов

M2410. Дан вписанный четырехугольник АВСD. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть K и N – середины диагоналей. Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна $180\infty$.

Пусть точки расположены так, как на рисунке. Треугольники ACP и BDP подобны, поскольку у них углы C и D опираются на одну дугу, а угол P общий. Поэтому соответственные медианы в них отсекают