27
«КВАНТ»
ДЛЯ
МЛАДШИХ
ШКОЛЬНИКОВ
Буратино и его качели
С.ДВОРЯНИНОВ
–Т
ЕБЕ, НАВЕРНОЕ, ТРУДНАЯ ЗАДАЧА ПО- палась? – обратился к Буратино с вопросом Папа Карло, оторвавшись от своего верстака. – Почему ты так решил? – удивился Буратино. – Да все очень просто. Перед тобой книга, но ты уже давно ее не перелистываешь и не открываешь новую страницу. Так бывает, когда ты обдумываешь сложную математическую задачу. Моя книга вовсе не по математике, я читаю про приключения барона Мюнхгаузена. А задумался я вот над чем. Однажды этот барон будто бы сам себя за волосы вытащил из болота. Каждому понятно, что это невозможно по всем законам физики и что так никогда не бывает. Но я вот что вспомнил. Когда я был совсем маленьким, ты качал меня на качелях. Я усаживался в креслице, и ты время от времени в такт его подталкивал. Я еще тебя просил: « Сильнее! Выше! Еще выше!» Тут все понятно – не мог же я сам себя толкнуть. Но вот вчера мы с ребятами качались на качелях, и тут ситуация была совсем другая. Заскочил я на качели и потом сам, без какой-либо помощи, раскачался очень даже сильно. Если бы ты в это время был рядом, то наверняка попросил бы меня быть осторожнее. Но дело не в этом. Мне кажется, что это раскачивание сродни вытаскиванию самого себя из болота. Но последнее никто не может сделать, а вот на качелях каждый может раскачаться. Почему так?
Наверное, тут скрыто какое-то противоречие и есть какая-то тайна. Мне хочется разобраться с этим вопросом. И это так интересно, что я готов прервать чтение увлекательной книжки о приключениях Мюнхгаузена. Так как же мы раскачиваемся на качелях? – Что ж, будем разбираться, – Папа Карло стряхнул стружки с фартука и подсел к столу. – Давай бумагу. Вначале мы должны вспомнить про энергию. А именно, энергию механическую. Такая энергия бывает двух видов… – Да, знаю, – уверенно подхватил Буратино. Энергия бывает кинетическая и потенциальная. Когда я разгоняюсь на самокате, то совершаю работу. И самокат, и я на нем движемся с нарастающей скоростью. Чем больше скорость, тем больше кинетическая энергия. Потом какое-то время я по инерции могу катиться с постоянной скоростью. Если при этом моя дорога пойдет вверх, то за счет накопленной кинетической энергии я могу и на горку закатиться. При движении вверх скорость уменьшается, кинетическая энергия тоже уменьшается. В конце концов я остановлюсь, кинетическая энергия станет равной нулю. Но энергия не исчезнет, она перейдет в энергию потенциальную. Эта энергия связана с высотой. Я же оказался на горке, и потому обладаю потенциальной энергией. Теперь я могу развернуться и покатиться вниз. При этом потенциальная энергия будет убывать – она будет переходить в кинетическую энергию движения. – Ну что ж, я вижу, ты хорошо знаешь физику и тебе понятно, что так же меняется и твоя энергия, когда ты качаешься на качелях. Оказался ты на самом верху и на миг остановился – твоя потенциальная энергия самая большая, кинетическая же равна нулю. В самой нижней точке твоей траектории потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая оказывается самой большой. Важно, что при таких твоих колебаниях – так называют качания маятника, а твои качели это тот же маятник – выполняется закон сохранения энергии К + П = С, где К – это кинетическая энергия, П – потенциальная энергия, С – постоянная величина для колебаний с данной амплитудой. Да, поясню: амплитуда – это размах колебаний.
28
КВАНТ 2016/№3
– Следовательно, если хочу раскачиваться все сильнее и сильнее, т.е. подниматься все выше и выше, я должен увеличивать значение этой константы С. А этого можно добиться, увеличив либо значение К, либо значение П. Ясно! Когда ты раньше подталкивал мои детские качели, то ты увеличивал мою кинетическую энергию. Так же теперь могут действовать мои товарищи, если они рядом. Но даже если их и нет, я сам, один, могу раскачиваться все сильнее и сильнее. Как же это достигается? Вот это и есть мой главный вопрос! – с воодушевлением произнес Буратино. – Давай выясним: какую энергию – кинетическую или потенциальную – ты можешь увеличить, находясь на качающихся качелях. Подтолкнуть сам себя ты не можешь, стало быть, вся надежда остается на увеличение потенциальной энергии. А вот увеличить ее действительно можно. И что ты для этого делаешь, находясь на качелях?.. А?.. Вспомнил?.. – Да, – обрадовался Буратино. Вспомнил! Стоя на дощечке, я попеременно то сгибаю ноги в коленях, то их распрямляю, т.е. по очереди приседаю и распрямляюсь. И когда я распрямляюсь, т.е. встаю в полный рост, то я совершаю работу по подъему своего центра масс (или центра тяжести), и эта работа переходит в потенциальную энергию качелей. Но потом, когда я приседаю, потенциальная энергия, – тут Буратино замолчал и на его лице появилось выражение разочарования. – Так что там потенциальная энергия делает? – подбодрил его Папа Карло. – Потенциальная энергия убывает, и, стало быть, никакого прироста полная энергия рассматриваемой механической системы не получает. Раскачаться сильнее не получается, – заключил Буратино с разочарованием. – Давай не будем торопиться, а будем внимательными. Ведь эксперименты, т.е. твой опыт, говорят, что раскачивание происходит! Не опускай руки и не унывай, ищи теоретическое объяснение этого явления. – Это грибы в лесу ищут, а объяснение где искать? – приуныл Буратино. – Как где? В твоих рассуждениях! Бывает, что решил ты уравнение, сверил ответ и видишь, что ошибся. Начинаешь решать заново, аккуратно проводя все выкладки. Так и сейчас. Вот я тебе немного подскажу. Начнем с самого начала. Качаешься ты на качелях туда-сюда с постоянной амплитудой на согнутых в коленях ногах. И вот в самой нижней точке ты мгновенно встал в полный рост. Как ты думаешь, после этого амплитуда (т.е. размах) увеличится?
– Конечно. Я ведь поднял себя, совершил работу, увеличил потенциальную энергию, а значит, и общую энергию системы. – Итак, есть способ увеличить потенциальную энергию. Может быть, и не на много, но увеличить. Хочется этот прием повторить. Верно? Иными словами, желательно опять встать в полный рост. Но сейчас ты уже стоишь и повторить этот прием невозможно. Как же быть?.. – Встать в полный рост можно только из состояния, в котором ноги согнуты в коленях. И поэтому теперь я должен присесть, – согласился Буратино. Самое главное – выбрать момент, когда это следует сделать. Если согнуть ноги в коленях в самой нижней точке траектории, то убыль потенциальной энергии будет такой же, каким был перед этим ее прирост. Суммарный эффект от двух действий будет нулевым, мы вернемся на исходный режим колебания. Лучше всего присесть… Подумай, когда. А чтобы дать правильный ответ, посмотри на две одинаковые лестницы. Только одна из них стоит вертикально (как пожарная лестница у дома), а другая – наклонно. Если по каждой лестнице подняться, скажем, на 10 ступенек, то в каком случае ты поднимешься на бульшую высоту – по вертикальной лестнице или по наклонной? Здесь уместно вспомнить, что катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы. Все мне ясно! – весело произнес Буратино. Оказавшись в самой верхней точке траектории, я должен мгновенно присесть, согнуть ноги в коленях. При этом мое смещение по вертикали окажется меньше моего подъема по вертикали, который был в нижней точке траектории. Поэтому убыль потенциальной энергии будет меньше ее прироста. В результате двух действий – распрямление в нижней точке и приседание в верхней точке – качели получат прирост энергии, амплитуда колебаний увеличится. Можно такие действия повторять, накачивая, тем самым, энергию в нашу механическую систему. При этом наши качели оказываются маятником переменной длины. Согнули ноги в коленях – получили длинный маятник длиной L, встали в полный рост – получили короткий маятник длиной l. – Ну что же, с физикой разобрались. Ты можешь продолжить свое чтение, а я – свою работу. Но надо заметить, что мы дали простейшее объяснение того, как раскачиваются качели. Мы не учли всех обстоятельств. Но это уже тема для другого разговора.