Решения задач М2446—М2449; Ф2453—Ф2456

17

ЗАДАЧНИК

Рис. 1

Ф2467. При подведении теплоты количества Q = 600 Дж к смеси гелия и азота при постоянном объеме смесь нагревается на $\Delta T_{1} = 15$ К. А если то же количество теплоты подвести к тому же количеству той же смеси при постоянном давлении, то температура смеси повысится на $\Delta T_{2} = = 10$ К. Найдите отношение числа молекул азота к числу молекул гелия в смеси.

Ф2468. В электрической цепи, изображенной на рисунке 2, все элементы можно

Рис. 2

считать идеальными. В некоторый момент после замыкания ключа тепловые мощности, выделяющиеся на резисторах с сопротивлениями R и 2R, равны $P_{1} = 9$ Вт и $P_{2} = 2$ Вт соответственно. С какой скоростью в этот момент растет энергия конденсатора?

Решения задач М2446–М2449, Ф2453–Ф2456

M2446. а) Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин? б) Тот же вопрос, если ребят 100 и одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине некоторым (кому хочет) из остальных.

«КВАНТА»

а) Ответ. После 45 действий. Оценка. Рассмотрим разность числа макаронин у двух детей, скажем из числа Пети вычитается число Васи. Действие Пети уменьшит эту разность на 10, Васи – увеличит на 10, а действия других детей не меняют ее. Поэтому эта разность будет ненулевой тогда и только тогда, когда Петя и Вася сделают разное количество действий. Следовательно, чтобы у всех детей оказалось разное количество макаронин, необходимо сделать хотя бы 0 + + 1 + 2 + … + 9 = 45 действий. Пример. Первый сделает одно действие, затем второй – 2, третий – 3 и т.д. до девятого включительно. Каждый отдал не более 9 ◊ 9 = 81 макаронины, его исходных 100 макаронин на это хватило. б) Ответ. После 50 действий. Пример. Покажем, как количества макаронин могли стать различными после 50 действий. Занумеруем детей от 1 до 100. Пусть k-й ребенок, где 1 £ k £ 50, переложит по макаронине ребятам с номерами от 51 до 50 + k. После всех действий у детей окажется 99, 98, …, 50, 150, 149, …, 101 макаронина соответственно. Оценка. Предположим, было сделано не более 49 действий. Рассмотрим всех детей, не отдававших макароны, таких детей не меньше 51. У каждого из них количество макаронин не уменьшилось по сравнению с начальным, а увеличиться оно могло не более чем на 49. Значит, у каждого из таких детей конечное количество макаронин заключено в диапазоне от 100 до 149 (50 возможностей), поэтому из них найдутся двое с одинаковым количеством макаронин. С.Дориченко, Н.Чернятьев

M2447. Решение этой задачи см. в статье А.Заславского «О вписанной окружности прямоугольного треугольника».

M2448. На прямой отмечены 100 точек, и еще одна точка отмечена вне прямой. Рассмотрим все треугольники с вершинами в этих точках. Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?

18

КВАНТ 2017/№4

Ответ. 150. Пусть l – данная прямая, O – отмеченная точка вне ее, H – основание перпендикуляра, опущенного из O на l. Оценка. Равнобедренные треугольники могут быть двух видов: те, у которых основание лежит на прямой l, и те, у которых не лежит. В первом случае треугольник должен быть симметричен относительно OH, поэтому таких треугольников не больше 50 (для одной вершины X основания вторая определяется однозначно как симметричная точке X относительно OH). Треугольников второго вида с данным основанием OA может быть не более одного, так как вершина определяется пересечением l и серединного перпендикуляра к OA. Поэтому треугольников второго вида не больше 100. Пример. Проведем от луча OH лучи под углом $18\infty$ (см. рисунок). Они пересекут l в точках $A_{1}$ и $B_{1}$, отметим их. Отложим на l в другую сторону от $A_{1} B_{1}$ отрезок $A_{1} A_{2} = A_{1} O$, тогда у треугольника $OB_{1} A_{2}$ углы будут равны $72\infty, 72\infty, 36\infty$. Затем отложим отрезок $A_{2} A_{3} = A_{2} O$, …, отрезок $A_{49} A_{50} = A_{49} O$. Аналогично отметим точки $B_{2}$, … $, B_{50}$. Равнобедренными будут 50 треугольников $OA_{i} B_{i}$, по 49 треугольников $OA_{i} A_{i} +_{1}$ и $OB_{i} B_{i} +_{1}$, а также треугольники $OA_{1} B_{2}$ и $OB_{1} A_{2}$. Другая идея, приводящая к решению, – выполнить инверсию с центром O. При инверсии прямая перейдет в окружность, и мы получим вписанный 101-угольник, одна из вершин которого – точка O. Если X¢ и Y¢ – образы при инверсии точек X и Y, то треугольники OXY и OY ¢ X ¢ подобны. Значит, вопрос задачи переформулируется следующим образом: каково наибольшее количество равнобедренных треугольников среди треугольников вида OXY, где X и Y – вершины 101-угольника? Одним из оптимальных примеров

будет являться правильный 101-угольник. Е.Бакаев, И.Богданов

M2449 *. На прямой сидит конечное число лягушек в различных целых точках. За ход ровно одна лягушка прыгает на 1 вправо, причем лягушки по-прежнему должны находиться в различных точках. Мы вычислили, сколькими способами лягушки могут сделать n ходов (для некоторого начального расположения лягушек). Докажите, что если бы мы разрешили тем же лягушкам прыгать влево, запретив прыгать вправо, то способов сделать n ходов было бы столько же.

Назовем шаблоном последовательность из n команд «Налево» или «Направо», где k-я команда указывает, в каком направлении на k-м ходу должна прыгнуть одна из лягушек. Докажем более общее утверждение: количество способов из данной позиции сделать n ходов (выполняя команды) так, чтобы лягушки не запрыгивали друг на друга, не зависит от шаблона. (Утверждение задачи тогда является частным случаем для шаблона, состоящего из одних команд «Направо», и шаблона, состоящего из одних команд «Налево».) Лемма 1. Изменение последней команды шаблона не меняет количество способов. Доказательство. Рассмотрим произвольную позицию перед последним ходом. Каждая позиция разбивается на группы подряд сидящих лягушек. Количество способов получить из нее финальную позицию независимо от последней команды шаблона равно количеству групп, поскольку из каждой группы только одна лягушка может прыгнуть влево и одна – вправо. Лемма 2. Замена двух соседних команд шаблона не меняет количество способов. Доказательство. Пусть два шаблона отличаются только в ходах k и k + 1, так что в первом шаблоне k-я команда – «Налево» и (k + 1)-я – «Направо», а во втором шаблоне – наоборот: k-я команда – «Направо» и (k + 1)-я – «Налево». Рассмотрим произвольную позицию A перед k-м ходом. Покажем, как сопоставить каждому способу сделать два следу-