Футбольные и волейбольные турниры

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Футбольные и волейбольные турниры

А.ЗАСЛАВСКИЙ

Сила мысли на исходе, Рассуждать о новой моде, О футболе, о погоде И о прочих пустяках – Только это и осталось… А.Великий

ИЗВЕСТНО МНОГО МАТЕМАТИЧЕСКИХ задач, в которых речь идет о спортивных соревнованиях. Чаще всего в них говорится об однокруговых турнирах, в которых каждый из n участников один раз играет с каждым из остальных. При этом, как правило, предполагается, что очки начисляются по шахматной системе, т.е. за победу участник получает одно очко, за ничью – полочка, за поражение – ноль очков (в командных видах спорта за победу раньше давали два очка, а за ничью одно, что, с математической точки зрения, принципиально не отличается от шахматной системы). О шахматных турнирах «Квант» рассказывал неоднократно$^{1}$, поэтому здесь мы отметим только два следующих свойства таких турниров. 1. Сумма очков, набранных всеми участниками, равна $n ( n - 1 ) 2$. Действительно, в каждой партии ее участники при любом исходе набирают в сумме одно очко, а общее число партий в турнире равно $n ( n - 1 ) 2. 2.$ Если участник набрал в итоге s очков, то разность между числом его побед и числом его поражений равна 2s – n + 1. Действительно, если участник выиграл w партий, а проиграл l партий, то вничью он

1 См., например, статью А.Заславского «О логичных и нелогичных турнирах» («Квант» №5 за 1997 г.) или статью А.Заславского и Б.Френкина «Математика турниров» («Квант» №1, 2 за 2007 г.).

сыграл n – 1 – w – l раз, т.е. набрал $s = w + + ( n - 1 - w - l ) 2 = ( n - 1 ) 2 + ( w - l ) 2$ очков, что равносильно свойству 2. Из свойств 1 и 2 легко вывести утверждения, сформулированные в следующих упражнениях.

Упражнения

1. Докажите, что если все участники турнира набрали поровну очков, то у каждого из них число побед равно числу поражений. 2. Докажите, что если не все участники турнира набрали поровну очков, то у победителя турнира побед больше, чем поражений, а у участника, занявшего последнее место, побед меньше, чем поражений.

В конце прошлого века в футбольных турнирах за победу стали давать три очка, а за ничью одно. В последние годы в волейболе ввели систему, при которой, если встреча заканчивается со счетом 3:0 или 3:1, то победившая команда получает три очка, а проигравшая – ноль очков; если встреча заканчивается со счетом 3:2, то команды получают два и одно очко соответственно. Очевидно, что при футбольной системе оба свойства 1 и 2 перестают выполняться, а при волейбольной сохраняется только свойство 1. Поэтому можно ожидать, что и утверждения упражнений 1 и 2 перестают быть верными. Соответствующие контрпримеры несложно придумать, если число участников турнира достаточно велико. Однако вопрос о минимально возможном числе участников таких турниров не столь прост и достаточно интересен. Такого рода задачи мы и будем рассматривать в этой статье. Задача 1. В футбольном турнире все n команд-участниц набрали поровну очков. При каком наименьшем n может оказаться, что не у всех команд число побед равно числу поражений? Ответ. n = 8. Решение. Если не у всех команд побед и поражений поровну, то найдется команда, имеющая больше побед, чем поражений, и команда, имеющая больше поражений, чем побед. Предположим сначала, что у обеих команд количества побед и поражений отличаются на 1, т.е. у первой команды x побед и x – 1 поражений, а у второй y побед и y + 1 поражений. Тогда из условия равенства