Магия комплексных чисел

Магия комплексных чисел

А.КАНУННИКОВ

ОКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ НАПИСАНО невероятное число научно-популярных статей и учебных пособий, были публикации [4, 5, 6] и в журнале «Квант». В чем секрет такой популярности и зачем написана еще одна статья? Главный аспект – научный: комплексные числа вездесущи, они прочно вошли в самые разные области математики и физики. Мощь аппарата комплексных чисел, красоту и богатство их применений может оценить уже школьник на примере задач элементарной математики. Также полезно и увлекательно изучать историю вопроса: как комплексные числа появились и развивались, как даже великие умы в них поначалу не верили, но со временем привыкали, восторгаясь их удивительной силой. Очень часто выводы, к которым приходили ученые, опережали строгие доказательства, иногда – на века… От этого комплексные числа только подтверждали свою репутацию таинственных и мистических, но в то же время это ускоряло построение математического фундамента и развитие новых научных теорий. Главную цель статьи раскрывает ее название. Мы хотим поразить вас, уважаемый читатель, показав несколько красивых сюжетов о комплексных числах, имеющих вместе с тем и важное научное значение. Чем меньше вы знаете о комплексных числах, тем удивительнее будут для вас результаты, тем сильнее будет эффект неожиданности. Представьте, что вы пришли на представление иллюзиониста, и усаживайтесь поудобнее – кролики, спрятанные в шляпах, с нетерпением ждут своего появления и ваших аплодисментов! На первых порах достаточно иметь самые начальные представления о комплексных числах:

i это «числа» (выражения, записи) вида a + bi, где $a, b \in^{R}, i$ – так называемая мнимая единица, удовлетворяющая соотношению $i^{2} = - 1 ; i$ число a + bi можно считать точкой ( a, b ) на координатной плоскости $R^{2} ; i$ комплексные числа складываются и умножаются по обычным правилам, при раскрытии скобок ( a + bi )( c + di ) пользуемся определением числа i и получаем $ac - bd + ( ad + bc ) i ; i$ для числа z = a + bi определены: действительная часть Re z = a, мнимая часть Im z = b, сопряженное число

$z = a - bi$ и модуль $z = a^{2} + b^{2}$ (рис. 1).

Рис. 1

Более подробно и систематично мы расскажем о комплексных числах в этом же номере журнала (с.28).

§1. Сумма квадратов раскладывается! С далеко идущими последствиями…

Когда я впервые увидел формулы сокращенного умножения, мне бросилось в глаза, что они все разбиты на пары… все, кроме одной: