LXXX Московская математическая олимпиада

ОЛИМПИАДЫ

LXXX Московская математическая олимпиада

8 класс

1. Замените в выражении $AB^{C} = DE^{F}$ буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным, использовав каждую цифру от 1 до 6 ровно один раз. (Пояснение: $AB^{C}$ – двузначное число из цифр A и B, возведенное в степень C. Достаточно привести один способ замены.) Е.Бакаев

2. На плоскости даны треугольник ABC и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника ABC. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке. С.Маркелов

3. По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально? Б.Френкин

4. См. задачу 4 сложного варианта для 8–9 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов (опубликовано в «Кванте» №4).

5. Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдет в $37 \cdot ( 40 100 ) = 14,8$ и будет округлена до 15.) Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчетов так, чтобы у Пети

стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки). Б.Высоканов, Н.Медведь, В.Брагин

6. См. задачу М2460 «Задачника «Кванта».

9 класс

1. Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в 5 раз, если зачеркнуть первую цифру. М.Евдокимов

2. См. задачу 1 сложного варианта для 8–9 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

3. См. задачу 2 сложного варианта для 8–9 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

4. Найдите все такие пары натуральных чисел a и k, что для всякого натурального n, n взаимно простого c a, число $a^{k} +^{1} - 1$ делится на n. А.Меньщиков

5. См. задачу 4 сложного варианта для 10–11 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

6. См. задачу 5 сложного варианта для 10–11 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

10 класс

1. Квадратный трехчлен $x^{2} + bx + c$ имеет два действительных корня. Каждый из трех его коэффициентов (включая коэффициент при $x^{2} )$ увеличили на 1. Могло ли оказаться, что оба корня трехчлена также увеличились на 1? М.Евдокимов

2. Все натуральные числа, большие единицы, раскрасили в два цвета – синий и красный – так, что сумма любых двух синих (в том числе одинаковых) – синяя, а произве-

41

ОЛИМПИАДЫ

дение любых двух красных (в том числе одинаковых) – красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число 1024 покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число 2017? М.Евдокимов

3. Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOC вторично пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Оказалось, что прямая EF делит площадь треугольника ABC пополам. Найдите угол B. M.Евдокимов

4. У Васи был камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой? M.Евдокимов

5. При каких натуральных n для всякого натурального $k \ge n$ найдется число с суммой цифр k, кратное n? А.Кузнецов, И.Лосев

6. См. задачу 7 сложного варианта для 10–11 классов весеннего тура XXXVIII Турнира городов.

11 класс

Первый день

1. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80. А.Бегунц

2. На вписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны AC в точке S, нашлась такая точка Q, что середины отрезков AQ и QC также лежат на вписанной окружности. Докажите, что QS – биссектриса угла AQC. M.Васильев

3. Пусть $x_{0}$ – положительный корень уравнения $x^{2017} - x - 1 = 0$, а $y_{0}$ – положи-

тельный корень уравнения $y^{4034} - y = 3 x_{0}$.

а) Сравните $x_{0}$ и $y_{0}$. б) Найдите десятый знак после запятой числа $x_{0} - y_{0}$. И.Шейпак

4. Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной 300 метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной d метров. При каком наименьшем d фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок? О.Косухин

5. На гранях единичного куба отметили 8 точек, которые служат вершинами меньшего куба. Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба. М.Евдокимов

6. См. задачу 6 для 10 класса.

Второй день

1. Даны две непостоянные прогрессии $( a_{n} )$ и $( b_{n} )$, одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что $a_{1} = b_{1}, a_{2} : b_{2} = 2$ и $a_{4} : b_{4} = 8$. Чему может быть равно отношение $a_{3} : b_{3}$? Д.Горяшин

2. Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства? А.Бегунц

3. Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней? О.Косухин

4. Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что BD = CD, $\angle$ BDC $= 120 ^\circ$. Вне