Задачи М2474—М2477; Ф2481—Ф2484

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача М2476 предлагалась на VIII Международной олимпиаде Romanian Master in Mathematics, а задача М2477 – на XXIV Международной олимпиаде «Туймаада». Автор задач Ф2481–Ф2484 – Д.Александров.

Задачи М2474–М2477, Ф2481–Ф2484

M2474. Натуральные числа x, y, z таковы, что x y y z z x x y z. Докажите, что они являются длинами сторон некоторого треугольника. В.Сендеров

M2475. Дан квадрат ABCD. Переменный квадрат KLMN расположен так, что K лежит на отрезке AD, B лежит на отрезке LM, а C лежит на отрезке MN (см. рисунок). Найдите геометрическое место точек T пересечения прямых AL и DN. В.Расторгуев

M2476. На координатной плоскости построены графики $G_{1}$ и $G_{2}$ квадратичных функций $f_{1} x p_{1} x^{2} q_{1} x r_{1}$ и $f_{2} x p_{2} x^{2} q_{2} x r_{2}$, причем $p_{1} 0 p_{2}$. Графики $G_{1}$ и $G_{2}$ пересекаются в двух различных точках A и B. Четыре касательные к $G_{1}$ и $G_{2}$, проведенные в точках A и B, образуют выпуклый четырехугольник, в который можно вписать окружность. Докажите, что графики $G_{1}$ и $G_{2}$ имеют общую ось симметрии. А.Заславский

M2477. Имеется 25 масок, каждая своего цвета. k мудрецов играют в игру: им показывают все маски, потом они договариваются между собой, после чего им надевают маски таким образом, что каждый из них видит маски всех остальных (но не знает на ком они надеты) и не видит свою. Никакие формы взаимодействия при этом не разрешаются.Все мудрецы одновременно называют по одному цвету, пытаясь угадать цвет своей маски. При каком наименьшем k они могут так заранее договориться, чтобы хотя бы один из них непременно угадал? С.Берлов

Ф2481. Камень брошен со скоростью $v_{0} = 17$ м c под углом $A = 60 \infty$ к горизонту. С какой угловой скоростью поворачивается вектор скорости камня через t = 1 с после броска? Принять g = 10 м $с^{2}$, сопротивление воздуха не учитывать. Результат выразите в радианах в секунду и округлите до десятых.

Ф2482. На гладкой горизонтальной поверхности находятся неподвижный шарик

18

КВАНТ 2017/№8

ственно? Известно, что скорость Саши не превышала 80 км ч.

Пусть начальные расстояния между гонщиками были l. Рассмотрим их движение с точки зрения ехавшего медленнее всех Егора. Возможны два варианта начального расположения гонщиков. 1) Расстояние (по ходу движения) от Вовы до Егора l, а от Саши до Егора 2l. Тогда до встречи с Егором Вова должен проехать расстояние l со скоростью $v_{2} - v_{1}$, а Саша за это же время, имея скорость $v - v_{1}$, должен преодолеть расстояния 2l, 5l, 8l… в зависимости от своей скорости движения. Так как по условию $v_{2} - v_{1} = 10$ км ч, то $v - v_{1} = 20, 50, 80$ … км ч. Значит, v = 30 или 60 км ч. Бульшая скорость противоречит условию задачи. 2) Расстояние от Вовы до Егора 2l, а от Саши до Егора l. Тогда до встречи с Егором Вова должен проехать расстояние 2l со скоростью $v_{2} - v_{1}$, а Саша за это же время, имея скорость $v - v_{1}$, должен преодолеть расстояния 4l, 7l, 10l, 13l… в зависимости от скорости движения. Так как $v_{2} - v_{1} = 10$ км ч, то $v - v_{1} = 20, 35, 50, 65$ … км ч. Следовательно, v = 30, 45, 60 или 75 км ч. Бульшая скорость противоречит условию задачи. Объединение множеств полученных величин дает следующие значения возможных скоростей Саши:

v = 30, 45, 60 или 75 км ч.

М.Замятнин

Ф2470. В соленом океане плавают три небольших айсберга 1, 2 и 3, как показано на рисунке (масштабы соблюдены не везде). Каждый из них имеет форму прямоугольного параллелепипеда. На айсберге 1 стоит человек. Площади поверхностей верхних граней у айсбергов одинаковы, а высоты надводных частей равны $h_{1} = 5$ см $, h_{2} = 10$ см и $h_{3} = 12$ см соответственно. Когда человек перешел с

айсберга 1 на айсберг 2, то при равновесии поверхности айсбергов 1 и 2 оказались на одинаковой высоте над уровнем воды. После этого человек перешел с айсберга 2 на айсберг 3. Определите, какими стали высоты надводных частей каждого из айсбергов, когда вновь наступило равновесие.

Для каждого айсберга сила тяжести, действующая на него, плюс вес человека (если на айсберге стоит человек) уравновешиваются силой Архимеда, действующей на подводную часть айсберга. Сила Архимеда равна $F_{Арх} = R gV$, где R – плотность воды, g – ускорение свободного падения, V – объем подводной части айсберга. Этот объем подводной части можно выразить формулой V = SH, где S – площадь верхней грани айсберга, H – высота его подводной части. По условию задачи площади верхних граней у всех айсбергов одинаковы. Отсюда следует, что масса каждого из айсбергов плюс масса человека (если на айсберге стоит человек) пропорциональны высоте подводной части айсберга. Поэтому когда человек переходит с первого айсберга на второй, то второй айсберг погружается в воду на столько же, на сколько всплывает первый. Когда человек перешел с первого айсберга на второй, поверхности этих двух айсбергов оказались на одинаковом уровне. Это означает, что первый айсберг всплыл на 2,5 см, а второй погрузился на 2,5 см. Высоты надводных частей айсбергов над уровнем моря стали равными 7,5 см, 7,5 см и 12 см соответственно. Когда человек перешел со второго айсберга на третий, высота надводной части второго айсберга вернулась к исходному значению 10 см, а третий айсберг погру-

20

КВАНТ 2017/№8

Видно, что условию задачи удовлетворяет только третий случай. Таким образом, малое сопротивление имеет вольтметр, включенный в центральную часть цепи, а два других вольтметра имеют большие сопротивления. Напряжение 24 В показывает первый вольтметр, а два остальных вольтметра показывают напряжения 0 В и 12 В. Возможное решение 2 Воспользуемся «методом наложения», который основан на принципе суперпозиции. Рассмотрим схемы двух вспомогательных цепей (рис. 3), в каждую из которых включена только одна из батарей,

можных положений вольтметра с малым сопротивлением. Получается, что меньшим сопротивлением обладает третий вольтметр, напряжение 24 В показывает первый вольтметр, а два остальных вольтметра показывают напряжения 0 В и 12 В. Возможное решение 3 Предположим, что напряжение 24 В показывает правый вольтметр. Тогда средний вольтметр показывает 36 В, а вольтметр слева показывает 0 В. Такого, очевидно, быть не может, так как вольтметр слева обязательно что-нибудь да показывает, поскольку он подключен к батарейке с большей ЭДС.

Рис. 3

а ЭДС другой батареи считается равной нулю (в общем случае внутренние сопротивления удаленных из цепи источников включают в соответствующие участки цепей, а число вспомогательных цепей равно числу источников в исходной цепи). Искомые напряжения (или силы токов) на участках цепи находят, суммируя напряжения (токи) на этом участке во всех вспомогательных цепях. Этот метод подходит только для цепей, не содержащих нелинейных элементов. Во вспомогательных цепях показания вольтметров подсчитываются очень просто – при помощи закона Ома для участка цепи, с учетом известных сопротивлений участков цепей. При этом нужно помнить о знаках вычисляемых величин. Заполним для каждой цепи таблицу показаний вольтметров для различных воз-

Теперь предположим, что напряжение 24 В показывает средний вольтметр. В этом случае правый вольтметр показывает 12 В, и вольтметр слева тоже показывает 12 В. Но в какое бы место цепи мы ни включили вольтметр с меньшим сопротивлением, алгебраическая сумма токов для узла, в котором соединены все три вольтметра, при таких показаниях вольтметров не может быть равной нулю. Действительно, вычислим указанную сумму для возможных вариантов расположения вольтметра с меньшим сопротивлением. Пусть он а) находится слева: $12 2 - 24 - 12 \pi 0$; б) находится в центре: $12 - 12 - 24 2 \pi 0$; в) находится справа: $12 - 24 - 12 2 \pi 0$. Остается последний вариант: напряжение 24 В показывает левый вольтметр. Тогда средний вольтметр показывает 12 В, а вольтметр справа показывает 0 В. В этом