Антипараллели и коники

35

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Но вспомним еще, как создается давление: импульс молекулы i до нормального столкновения с поверхностью тела после упругого столкновения становится равным –i, так что каждая молекула сообщает телу импульс i i 2 i. Значит, пар, не возвращающийся на одинокую каплю, лишает ее части внешнего давления. В результате при испарении в вакуум не нужно совершать работу по расширению пара. Таким образом, в уравнении (1) в знаменателе правой части вместо L окажется величина L a, меньшая L. Даже не решая это новое уравнение, можно видеть, что интенсивность убыли массы капли увеличится. Значит, теперь новая кривая температурной зависимости массы капли пройдет ниже прежней. Она изображена на рисунке 2 красной кривой. Но тут всякий здравомыслящий отличник может воскликнуть: «Позвольте, а что же произойдет, когда температура капли достигнет значения $T_{к} = 273$ K?!» Тут надо еще поразмышлять. Если вода капли абсолютно чистая, капля может оставаться жидкой даже при дальнейшем охлаждении – это так называемое метастабильное состояние. Если же в ней окажется соринка или электрический заряд, может начаться кристаллизация. При этом температура капли будет оставаться постоянной, так что убыль массы можно изобразить вертикальным отрезком. Масса

КРУЖОК

будет уменьшаться до тех пор, пока теплота кристаллизации не будет унесена испаряющимися молекулами. Наконец, когда вся оставшаяся масса охладится до температуры кристаллизации, продолжится дальнейшее уменьшение массы и температуры за счет сублимации льда. Очевидно, что этот процесс можно описать теми же соотношениями, что и при испарении жидкой капли, подставив вместо теплоты испарения и теплопроводности воды теплоту сублимации и теплоемкость льда. Соответствующий график для такой «грязной» капли изображен на рисунке 2 синей линией. Что же получается – капля не может сама себя полностью испарить?! Даже барон Мюнхгаузен, известный своей изобретательностью, не решился утверждать, что может сам себя разорвать в мелкие клочья. Однако вернемся к постановке проблемы. Увы, в реальной вселенной нет абсолютной пустоты и абсолютного нуля температуры. Есть, по крайней мере, реликтовое излучение с температурой $T \sim 3$ К. И хотя бы оно (не говоря уже об излучении звезд или о потоках частиц) не дает одинокой капле жить вечно. Впрочем, эпиграф возвращает оптимизм. Тем более что, поступив в Московский физико-технический институт, вы сможете проанализировать все рассмотренные процессы гораздо подробнее.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Антипараллели и коники

П.КОЖЕВНИКОВ

ОБРАТИМСЯ К СТАТЬЕ О.ИВАНОВА, НА- печатанной в этом номере журнала, и посмотрим еще раз на конструкции из упражнения 7 (рис.1) и из задачи 4 (рис.2). Сходство не только внешнее: как мы видели, координатные решения этих задач похожи, как близнецы. Но поговорим еще немного о

Рис. 1

геометрическом и алгебраическом родстве этих конструкций. Для начала обсудим, как решить упражнение 7 геометрически. По условию, на рисун-

36

КВАНТ 2017/№8

когда KM и LN антипараллельны относительно пары прямых a и b.

Упражнения

Рис. 2

ке 1 биссектрисы l и m углов между парами прямых перпендикулярны. Прямые c и d составляют равные углы с осью симметрии (биссектрисой) l угла между a и b. Пары прямых с таким свойством называют антипараллелями, или антипараллельными относительно пары прямых a и b. Прямые a и b получаются из прямой l поворотом на равные углы по часовой стрелке и против часовой стрелки, поэтому соответствующие углы между прямыми a и c и между прямыми b и d равны. Отсюда по известному признаку следует вписанность четырехугольника в пересечении прямых a, b, c, d. (Заметим, что эти рассуждения и вывод сохраняются и для других конфигураций антипараллелей; рис.3.) Нетрудно обратить рассуждения и

1. Пусть a и b – пара пересекающихся прямых, точки K и L лежат на прямой a и точки M и N – на прямой b (точки K, L, M, N различны). Докажите, что прямые KN и LM антипараллельны относительно пары прямых a и b тогда и только тогда, когда KM и LN антипараллельны относительно пары прямых a и b. 2. Докажите, что если прямые c и d антипараллельны относительно пары прямых a и b, то и наоборот, прямые a и b антипараллельны относительно пары прямых c и d. 3. Пусть прямые d и da симметричны относительно биссектрисы l угла между прямыми a и b. Докажите, что прямые c и d антипараллельны относительно пары прямых a и b тогда и только тогда, когда c и da параллельны (или совпадают). 4. Пусть a и b – пара прямых, точки K, L, P лежат на прямой a и точки M, N, Q – на прямой b (все указанные точки различны) (рис.4). Дока-

Рис. 4

жите, что если K, L, M, N лежат на одной окружности и K, M, P, Q лежат на одной окружности, то LN P PQ.

Рис. 3

доказать, что если окружность пересекает прямую a в точках K и L, а прямую b – в точках M и N, то пара прямых KM, LN (как и пара KN, ML) – это пара антипараллелей относительно пары прямых a и b. Итак, получается следующий критерий антипараллельности: Пусть a и b – пара пересекающихся прямых, точки K и L лежат на прямой a и точки M и N – на прямой b (точки K, L, M, N различны). Точки K, L, M, N лежат на одной окружности тогда и только тогда,

В следующих двух упражнениях пересечение окружности и прямой «вырождается» в касание.

5. Пусть a и b – пара пересекающихся прямых, точки K и L лежат на прямой a и точка M – на прямой b. Докажите, что прямые KM и LM антипараллельны относительно пары прямых a и b тогда и только тогда, когда описанная окружность треугольника KLM касается прямой b (рис.5). 6. Пусть ABCD – трапе- Рис. 5

38

КВАНТ 2017/№8

9. Пусть даны две антипараллели к параболе, одна касается параболы в точке M, а другая пересекает параболу в точках K и L (точки K, L, M различные). Докажите, что описанная окружность треугольника KLM касается параболы в точке M (рис.9). 10 (С.Маркелов, Турнир городов, 2004 г.). На плоскости даны парабола и окружность, имею-

ние антипараллелей для большого класса K кривых, задаваемых уравнением вида $px^{2} qy^{2} rx sy t 0$

(где коэффициенты p и q одновременно не обращаются в 0). 1 Как мы видели, в $класс^{K}$ входит и объединение любой пары антипараллельных прямых y = kx + b, y = –kx + + c. Предлагаем читателю обобщить утверждения, которые мы встретили для пар прямых и парабол. В частности, предлагаем доказать следующие утверждения: Теорема о пересечении. Пусть A и B – две различные кривые $класса^{K}$, имеющие четыре общие точки (рис.11). Тогда эти точки лежат на одной окружности.

Рис. 9

щие с параболой ровно две общие точки: K и M. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке M совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке K также совпадают? Ответ: не обязательно. Указание. Рассмотрим две антипараллели к параболе, одна антипараллель m касается параболы в точке M, а другая проходит через M и вторично пересекает параболу в точке K (рис.10). Тогда окружность, проходящая через K и касающаяся прямой m в точке M, – требуемая.

Рис. 11

Обобщенный критерий антипараллельности. Пусть дана кривая A из класса K, не являющаяся окружностью, и различные точки K, L, M, N на этой кривой такие, что A не содержит целиком ни прямую KM, ни прямую LN. Точки K, L, M, N лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда KM и LN антипараллельны (рис.12).

Рис. 10

11. Сформулируйте и докажите аналог утверждения упражнения 6 для двух параллельных секущих параболы.

Аналогично можно определить антипараллели относительно других кривых второго порядка (коник) – эллипса, гиперболы. При работе в данной прямоугольной системе координат получается одно и то же определе-

Рис. 12

1 Кривые класса K – в точности кривые второго порядка, у которых главные направления параллельны осям координат.

43

ОЛИМПИАДЫ

на боковой стороне AB – точка E так, что 1 AE AL CD. Докажите, что LE = LD. 2 А.Кузнецов

6. Обозначим через S n сумму натуральных делителей числа n. Дано натуральное число $N 2^{r} b$, где r и b – натуральные числа, причем b нечетно. Известно, что S N 2 N 1. Докажите, что числа b и S b взаимно просты. Дж.Анталан, Дж.Дриз

7. Равносторонний треугольник со стороной 20 разбит тремя семействами параллельных прямых на 400 равносторонних треугольничков со стороной 1. Какое наибольшее количество этих треугольничков можно пересечь (во внутренних точках) одной прямой? А.Голованов

8. Дан граф с вершинами $A_{1}, A_{2}$, … $..., A_{2017}, B_{1}, B_{2}$, …, $B_{2017}$ и ребрами $A_{i} B_{i}, A_{i} A_{i} 1, B_{i} B_{i} 17$ (в циклической нумерации). Верно ли, что при любом начальном расположении в вершинах графа 4 полицейских смогут поймать вора? (Сначала делает ход каждый полицейский, потом вор, потом снова полицейские, потом снова вор и т.д. Ход состоит в том, что персонаж либо остается в той вершине, где был, либо перемещается в соседнюю вершину. Все видят, где находятся остальные, полицейские могут координировать свои действия. Вор пойман, если он окажется в одной вершине с полицейским.) Т.Болл, Р.Белл, Дж.Гузман, М.Хансон- Колвин, Н.Шоншек

9. См. задачу 6 младшей лиги.

10. На продолжении стороны AD прямоугольника ABCD за точку D выбрана точка E (рис.3). Луч EC вторично пересекает окружность W, описанную около треугольника

Рис. 3

ABE, в точке F. Лучи DC и AF пересекаются в точке P. На прямую l, проходящую через точку E параллельно прямой AF, опущен перпендикуляр CH. Докажите, что прямая PH касается окружности W. А.Кузнецов

8. На плоскости даны две точки A и B. Назовем точку X их нелепой серединой, если на плоскости существует такая декартова система координат, что точки A и B имеют в ней неотрицательные координаты, причем абсцисса точки X в этой системе равна среднему геометрическому абсцисс точек A и B, а ордината – среднему геометрическому ординат A и B. Найдите геометрическое место всех нелепых середин точек A и B. К.Тыщук

СТАРШАЯ ЛИГА

Первый день 1. См. задачу 1 младшей лиги.

2. См. задачу 2 младшей лиги.

3. См. задачу 4 младшей лиги.

4. См. задачу М2477 «Задачника «Кванта».

Второй день 5. Существует ли такой квадратный трехчлен f x, что f 1 2017 1 2018 и f 1 2018 1 2017 и два его коэффициента целые? А.Храбров

ФИЗИКА

Участники олимпиады по физике соревновались как обычно в двух лигах: старшей и младшей (жюри распределяет участников по лигам в зависимости от их возраста и класса). Олимпиада в каждой лиге состояла из двух туров: теоретического и экспериментального. Согласно программе олимпиады по физике, участникам могут быть предложены задачи на

44

КВАНТ 2017/№8

любые темы, содержащиеся в углубленной школьной программе (в младшей лиге – за исключением тем, относящихся к выпускному классу). Авторы оригинальных задач (как теоретических, так и экспериментальных) могут присылать их методической комиссии ([email protected]) – лучшие задачи войдут в итоговый комплект и после олимпиады будут опубликованы в образовательных журналах. Статья подготовлена на основании методического пособия: А.В.Чудновский, Р.Е.Аванесян, А.Б.Акимов, А.И.Бычков, С.Д.Варламов, В.В.Ефимов, А.Р.Зильберман, В.И.Плис, Г.М.Тарнопольский. XXIV Международная олимпиада «Туймаада». Физика. Теоретический тур. Методическое пособие / под ред. А.В.Чудновского – М.-Якутск, 2017.

Теоретический тур

СТАРШАЯ ЛИГА

Задача 1. Катер и баржа Катер, равномерно тянущий баржу на длинном тросе, движется с ней в A раз медленнее, чем без нее, при той же силе тяги винта. Если, двигаясь с баржей, катер выключит двигатель, то баржа до полной остановки пройдет в B раз большее расстояние, чем катер. Во сколько раз масса баржи больше массы катера? Сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости. В.Ефимов

Задача 2. Капля в трубке между сосудами Два одинаковых жестких сосуда наполнены разными идеальными газами, имеющими температуры $T_{1}$ и $T_{2}$ (причем $T_{1} T_{2} ),$ и соединены тонкой горизонтальной цилиндрической трубкой длиной L, посередине которой находится в равновесии капля ртути, не смачивающая стенки трубки. Объем газа в трубке составляет очень малую долю от объема одного сосуда. Как изменится положение капли, если увеличить температуру в обоих сосудах на одинаковую величину T? С.Варламов

Задача 3. Конденсаторы и катушка Изначально незаряженные конденсаторы емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$ и идеальный источник ЭДС E соединили последовательно, а затем в нулевой момент времени параллельно кон-

денсатору емкостью $C_{1}$ подключили катушку индуктивностью L. 1) В какой момент времени $t_{1}$ сила тока через катушку впервые будет максимальной? 2) Найдите максимальную силу тока $I_{0}$ через катушку. 3) В какой момент времени $t_{2}$ напряжение на конденсаторе емкостью $C_{2}$ впервые будет максимальным? 4) Найдите максимальное напряжение $U_{2}$ на конденсаторе емкостью $C_{2}$. А.Зильберман

Задача 4. Деревянный сердечник На цилиндрическую часть длинного остро заточенного осесимметричного деревянного карандаша намотали плотно в один слой много витков тонкого провода, а его концы замкнули между собой. Карандаш с проводом можно считать однородным цилиндром массой m и поперечным сечением S. Карандаш аккуратно поставили грифелем вниз на горизонтальную шероховатую поверхность, включили внешнее однородное вертикальное магнитное поле индукцией B, затем охладили провод, переведя его в сверхпроводящее состояние, после чего карандаш вышел из положения неустойчивого равновесия. 1) Найдите угол $J_{0}$ отклонения карандаша от вертикали в положении устойчивого равновесия. 2) Найдите период малых колебаний карандаша в вертикальной плоскости, проходящей через ось симметрии карандаша в положении устойчивого равновесия, если известно, что эти колебания возможны. А.Чудновский

Задача 5. Уголковый отражатель и осколок линзы Два полубесконечных плоских зеркала расположены взаимно перпендикулярно и касаются друг друга своими краями, образуя уголковый отражатель. Больший из осколков тонкой собирающей линзы радиусом R с фокусным расстоянием 2r, расколотой точно вдоль хорды, проходящей на расстоянии r от центра линзы, расположен так, что его главная оптическая ось перпендикулярна первому зеркалу, линия раскола параллельна второму зеркалу, а оптический центр удален от первого и второго зеркал на расстояния 5r и