Трисекторы
В задаче о трисекции угла требуется при помощи циркуля и линейки разделить данный угол на три равные части (или, что равносильно, построить угол, равный трети данного угла). Как и во всех классических задачах на построение, циркуль и линейка предполагаются идеальными: при помощи циркуля можно строить окружности любого радиуса (и откладывать равные отрезки на прямой), а при помощи линейки (односторонней и без делений) можно проводить прямые линии. Эта задача, наряду с двумя другими известными задачами на построение – удвоением куба и квадратурой круга, не поддавалась математикам с античных времен. Только в XIX веке было доказано, что ни одна из этих трех задач не разрешима в общем случае. Впрочем, некоторые конкретные углы разделить на три части при этом можно. Например, не составляет труда сделать это с прямым углом.
Упражнение 1. Приведите пример угла, градусная мера которого не кратна и который можно разделить на три равные части при помощи циркуля и линейки.
Доказательство невозможности трисекции произвольного угла дал в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель. Как ни странно, доказательство это вовсе не геометрическое, а алгебраическое.
Если сильно упростить, то идея в следующем. Во-первых, переведем все с геометрического языка на алгебраический: любое построение циркулем и линейкой сводится к последовательному решению систем, состоящих из линейных и квадратных уравнений (так как прямая задается уравнением первой степени, а окружность – уравнением второй степени). Во-вторых, заметим, что построение угла равносильно построению двух отрезков, отношение длин которых равно косинусу этого угла. Из этого, применяя формулу косинуса тройного угла, можно получить, что угол A поддается трисекции, если уравнение cos A = 0 разрешимо в квадратных радикалах, а это происходит далеко не всегда.
Упражнение 2. Обоснуйте утверждение «вовторых» и сведение к указанному кубическому
уравнению в приведенной выше идее доказательства. Можно ли выполнить трисекцию угла ?
Тем не менее оказывается, что если использовать нетрадиционные для задач на построение инструменты, то трисекцию угла вполне можно «строить». Ниже приведено несколько примеров таких конструкций.
Транспортир
Если у кого-нибудь есть идеальный транспортир (рис.1), который способен абсолютно
Рис. 1
точно измерять углы, то счастливый обладатель этого прибора сможет с легкостью производить трисекцию любых углов. Далее мы рассмотрим более серьезные (во всех отношениях) способы выполнить трисекцию.
Невсис
Невсисом называется способ геометрического построения, целью которого является вписывание данного отрезка между двумя данными кривыми так, чтобы отрезок или его продолжение приходили через данную точку. Для этого используется линейка, на которой можно делать пометки. Эту линейку с отмеченным на ее краю отрезком располагают так, чтобы один из его концов попал на одну из данных кривых, а край линейки проходил через данную точку. После чего, поворачивая линейку вокруг данной точки с проскальзыванием, можно добиться того,
Рис. 2