Задачи М2498—М2501; Ф2505—Ф2508

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2498–М2501, Ф2505–Ф2508

M2498. На доске написаны 100 попарно различных положительных чисел. Для каждой пары написанных чисел вычислили их сумму. У какого наибольшего количества пар эта сумма может найтись среди написанных на доске чисел? Фольклор (по мотивам олимпиад Чехии и Словакии)

M2499. Верно ли, что у любого тетраэдра есть сечение, являющееся равнобокой трапецией? В.Лецко

$M2500^{*}$. Клетки таблицы n ¥ n нумеруются (в произвольном порядке) числами 1, 2, …, $n^{2}$. Найдите наименьшее натуральное число k со следующим свойством: для любой нумерации найдутся две соседние по стороне клетки, номера которых отличаются не более чем на k. Н.Седракян

M2501. Пусть даны натуральные числа $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$, удовлетворяющие условию: для любых 1 £ i < j £ n число j – i делится на НОД $a_{i}, a_{j}$. Докажите, что найдется натуральное N такое, что N + i делится на $a_{i}$ для всех i = 1, 2, …, n. П.Кожевников, А.Толпыго

(

)

Ф2505. На рисунке 1 изображена висящая неподвижно однородная цепочка длиной L = 3 м. Один ее конец закреплен на стене,

Рис. 1

а на другой конец действует сила F = = 50 Н. Нижняя точка цепочки находится ниже места крепления к стене на h = 1 м и ниже второго конца цепочки на h/2 = = 0,5 м. Какова масса цепочки? С какой силой натянута цепочка в самой нижней точке? Ц.Почкин

Ф2506. По поверхности стоящего неподвижно небольшого школьного глобуса радиусом R = 9 см бежит маленький таракан с постоянной по величине скоростью v = = 3 см/с. По отношению к разметке глобуса его скорость все время направлена на северо-восток. Каково по величине ускорение таракана в тот момент, когда он наступает на кружочек, соответствующий положению Санкт-Петербурга $( M = 60 \infty$ северной широты)? Т.Глобусов

Ф2507. На три одинаковых сердечника намотали одинаковое количество витков провода 4N, которые по-разному распределены между первичными и вторичными