Задачи 21—24

Квант 2018, №2 с. 44, 45, 47 Тег PXIG

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest

Выпишем по возрастанию все положительные несократимые дроби, меньшие 1, знаменатели которых меняются от 2 до 2018. Чему равно среднее арифметическое этих дробей? Г.Гальперин
Дан произвольный остроугольный треугольник. а) Покажите, как разрезать его на шесть треугольников с одинаковыми радиусами описанных окружностей. б) Докажите, что есть несколько способов это сделать. Е.Бакаев
Треугольным называют число, равное сумме всех натуральных чисел от 1 до какого-то натурального числа включительно. Вот первые несколько треугольных чисел: 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + + 3 + 4 = 10 и т.д. Петя, исследуя их свойства, сформулировал две теоремы: I. Если сумма двух треугольных чисел

Вниманию наших читателей! Начиная с 2018 года математическое отделение ВЗМШ открывает прием пятиклассников. Обучение будет проходить на электронной платформе. Дополняем список задач вступительной работы задачами для учеников 5 класса. 13. (5) Эми, Бен и Крис выстроились в ряд. Если известно, что Эми стоит слева от Бена, а Крис справа от Эми, какое из следующих утверждений точно правдиво? 1. Бен крайний слева. 2. Крис крайний справа. 3. Эми стоит в середине. 4. Эми крайняя слева. 5. Ни одно из утверждений выше не является верным.

является степенью двойки, то и их разность является степенью двойки. II. Если разность двух треугольных чисел является степенью двойки, то и их сумма является степенью двойки. Верна ли хотя бы одна из этих теорем? А может быть, верны обе? И.Акулич

Поле для игры «Морской бой» представляет собой квадрат 10 ¥ 10, во всех углах которого вырезаны квадраты 2 ¥ 2. Какое наибольшее количество трехпалубных кораблей (т.е. прямоугольников из трех клеток) можно разместить на данном поле так, чтобы никакие два корабля не соприкасались даже углами? Прямоугольники разрешается размещать только по линиям сетки. С.Костин
(5) Мистер и миссис Смит поженились 18 лет назад. Тогда мистер Смит был в три раза старше своей жены. Но сегодня он всего в два раза старше ее. Сколько лет было миссис Смит, когда она выходила замуж? 15. (5) Альберт Эйнштейн экспериментирует с двумя необычными часами. У обоих часов 24-часовой циферблат. Одни часы идут вдвое быстрее нормальной скорости. Другие часы идут с нормальной скоростью, но назад. При этом и те, и другие показывают верное время в 13.00. В какое еще время показания этих часов совпадают?

КВАНТ 2018/№2

ли середину дистанции и какое максимальное расстояние было между ними во время движения. $(6,2)^{1}$ М.Замятнин

ней границы столбиков жидкости в термометрах. Поясните, как получены ваши ответы. (1,7) М.Замятнин

Задача 2. Куб с лункой Если в кубе массой $m_{0} = 1,6$ кг сделать лунку в форме кубика, то он будет иметь массу $m_{1} = 1,2$ кг (рис.1). А если эту лунку

Задача 4. Из полного в порожнее-1 В прямоугольном поддоне со сторонами а = 30 см, b = 20 см и высотой бортика $h_{0} = 10$ см стоят цилиндрические сосуды с площадью основания $S 100 см^{2}$ каждый (рис.3). Высота первого сосуда $h_{0}$ , а второго $5h_{0}$ . В высокий сосуд через отверстие в стенке вставлена тонкая трубка с краном K,

Рис. 1

заполнить водой, то масса куба станет равна $m_{2} = 1,7$ кг. Определите плотность U материала, из которого изготовлен куб. Плотность воды $U_{в} 1,0$ г $см^{3}$ . (8,5) В.Слободянин

Задача 3. Быстрые термометры На рисунке 2 изображены шкалы четырех термометров. Определите, у какого их них

Рис. 3

Рис. 2

наибольшая цена деления и чему она равна. Какой термометр сейчас показывает наибольшую температуру и чему она равна? Термометры внесли в комнату. Через час температура в ней стала медленно увеличиваться, причем за равные промежутки времени на одинаковую величину. Определите, во сколько раз будут отличаться максимальная и минимальная скорости движения верх-

1 В скобках после условия задачи указан средний балл решивших эту задачу. Каждая задача оценивалась в 10 баллов.

второй конец которой лежит на стенке низкого сосуда. В этом положении трубка горизонтальна. Благодаря наличию устройства У, при открытом кране уровень воды в высоком сосуде понижается с постоянной скоростью v = 1,0 мм/с. Первоначально в низком сосуде и поддоне воды нет, а уровень воды в высоком сосуде равен $5h_{0}$ . В момент времени t = 0 кран открывают. Постройте график зависимости уровня воды z в поддоне от времени t после открытия крана. Отметьте на осях графика величины z и t в характерных точках (точках излома, точках максимума или минимума). (1,9) С.Кармазин

8 класс

Задача 1. Средняя деревенская На перемещение из города в деревню с постоянной скоростью автомобиль затратил время t. На обратном пути водитель ехал быстрее и добрался до города за вдвое мень-

ОЛИМПИАДЫ

шее время. За какое время доехала бы машина от города до деревни, если бы водитель поддерживал скорость, равную средней скорости своего движения за поездку туда и обратно? (7,6) М.Замятнин

Задача 2. Зимой и летом… Экспериментатор Глюк обратил внимание, что в начале зимы показания двух уличных термометров (один проградуирован в градусах Цельсия, а другой в градусах Фаренгейта), совпадая по модулю, имеют разные знаки: 11,5 q C и 11,5 q F. Когда наступили суровые морозы, показания термометров опять совпали, но теперь уже и по знаку: 40 q C и 40 q F. Определите, какую температуру показывает термометр в градусах Цельсия, когда показания второго равны 40 q F. (5,0) М.Замятнин

Задача 3. Шариковая смесь В лаборатории калориметрии провели серию экспериментов по нагреванию стальных шариков двух различных масс. В таблице 1

Таблица 1 приведены значения изменений температуры шариков ’ t в зависимости от подведенного к ним количества теплоты Q. К сожалению, по неопытности лаборант занес в одну таблицу данные для разных шариков. Построив график, определите, во сколько раз отличались массы шариков, и найдите, какой из результатов явно надо отбросить как промах экспериментатора. (7,1) М.Замятнин

Задача 4. Из полного в порожнее-2 См. условие задачи 4 для 7 класса, а задание и дополнительное условие другие: Постройте график зависимости давления p, оказываемого низким сосудом на дно поддона, от времени t после открытия крана. Отметьте на осях графика величины p и t в

характерных точках – излома, максимума или минимума. Дно поддона шероховатое. (2,4)

9 класс

Задача 1. Мост Поезд въезжает на мост со скоростью $v_{0}$ . Если он будет на мосту разгоняться с ускорением а, то проедет мост за время $t_{1} = 30$ с, если с таким же ускорением он будет тормозить, то проедет мост за время $t_{2} = 60$ с. За какое время $t_{3}$ поезд проедет мост при равномерном движении со скоростью $v_{0}$ ? (6,3) М.Замятнин

Задача 2. Равновесие-1 Система состоит из нескольких грузов, подвешенных на невесомых нитях, перекинутых через невесомые и один массивный (выделен цветом) блоки (рис.4). Масса m = 1 кг. Определите, при каких значениях масс $m_{1}$ и $m_{2}$ система будет находиться в равновесии. Трения в осях блоков нет. (3,9) М.Замятнин

Задача 3. Два в одном В калориметр, частично заполненный водой при температуре $t_{0} 10 q C$ , опустили кубик 1, имеющий $начальную_{Рис.} 4$ температуру t 70 q C. После прекращения теплообмена температура содержимого калориметра достигла $t_{1} 25 q C$ . Если бы вместо кубика 1 в калориметр опустили кубик 2, нагретый до такой же температуры t, то после прекращения теплообмена температура содержимого калориметра достигла бы $t_{2} 35 q C$ . До какой температуры $t_{3}$ увеличится температура содержимого калориметра, если в него опустить сразу оба кубика, нагретые до температуры t? Теплообменом с окружающей средой пренебречь. Вода из калориметра не выливается. (4,8) М.Замятнин

Задача 4. Выделение нелинейности В лаборатории линейной электродинамики экспериментатор Глюк исследовал вольт-

ОЛИМПИАДЫ

давлений $D p_{2} p_{1}$ от времени t после открывания крана $( p_{1}$ – давление низкого сосуда на дно поддона, $p_{2}$ – давление высокого сосуда на дно поддона). Отметьте на осях графика величины D и t в характерных точках – излома, максимума или минимума. Днища сосудов и поддона тщательно отполированы, так что вода под сосуды не подтекает. (3,4)

пературы $T_{0}$ до температуры $2T_{0}$ , в результате чего он полностью диссоциирует на атомы. При этом степень диссоциации газа (доля распавшихся молекул) в указанном диапазоне прямо пропорциональна его температуре. Изобразите этот процесс в осях p–V, V–T и Q p, где p, V, T и Q – давление, объем, температура и количество вещества соответственно. (1,9) М.Замятнин

11 класс

Задача 4. Куб в магнитном поле Проволочный каркас в форме куба помещен в однородное магнитное поле, модуль индукции которого изменяется со временем по закону $B_{м} kt$ , где k > 0. Сопротивления всех ребер одинаковы и равны R каждое. Длина ребра a. Определите направление и величину силы тока, протекающего через каждое из ребер. Рассмотрите случаи, когда вектор индукции магнитного поля: а) парал-

Задача 1. Перепутанные шарики В баллистической лаборатории исследовались зависимости значений скорости v шарика, выпущенного вертикально вверх из небольшой катапульты, стоящей на столе, от высоты h его подъема над уровнем стола. К сожалению, в спешке в таблицу 4 с резуль-

Таблица 4 татами измерений попали данные для двух разных шариков. Определите, какие данные относятся к одному, а какие к другому шарику. Для этого постройте график с результатами измерений в таких координатах, в которых он должен быть линейным. Рассчитайте, во сколько раз отличаются максимальные высоты подъема шариков над столом. Определите времена полета шариков. Ускорение свободного падения g 9,8 м $с^{2}$ . (2,8) М.Замятнин

Задача 2. Равновесие-3 См. задачу 2 для 9 класса, а рисунок не 4, а 7. (5,3)

Рис. 7

Задача 3. Диссоциация Идеальный двухатомный газ, находящийся в герметичном сосуде объемом $V_{0}$ , нагревают от тем-

Рис. 8

лелен ребру AE (рис.8,a); б) параллелен малой диагонали AC (рис.8,б). (2,1) И.Иоголевич

Задача 5. Из полного в порожнее-5 См. условие задачи 4 для 7 класса, а задание и дополнительное условие другие: Постройте график зависимости отношения давлений $D_{2} p_{2} p_{1}$ от времени после открывания крана $( p_{1}$ – давление низкого сосуда, а $p_{2}$ – давление высокого сосуда на дно поддона). Отметьте на осях графика значения величин D и t в характерных точках – излома, максимума или минимума. Дно поддона шероховатое. (3,6) Публикацию подготовил В.Слободянин