Решения задач М2538—М2541; Ф2545—Ф2548

16

КВАН T 2019/№3

Рис. 2

и нерастяжимая нить, соединяющая два одинаковых шара массой m. У нити имеются вертикальные и горизонтальный участки. Шары касаются брусков. Вначале эти бруски удерживались внешними силами в неподвижном состоянии. Затем бруски отпустили, и они стали двигаться поступательно. С какими начальными ускорениями двигались бруски? Трения в системе нигде нет. М.Ромашка

Ф2558. Шаровая льдинка радиусом $R_{0}$, имеющая температуру $0 \infty C$, в условиях невесомости начинает таять (плавиться) при постоянной «невысокой» температуре окружающей среды $T_{0} ( T_{0} \sim 2 - 5 \infty C ).$ Пренебрегая испарением, определите время таяния льдинки. Во сколько раз возрастает время таяния льдинки при увеличении ее радиуса в два раза? Удельная теплота плавления льда O, коэффициент теплопроводности воды K. Считайте, что при плавлении льдинка сохраняет форму шара и симметрично окружена водой, образовавшейся при ее таянии, поскольку вода хорошо смачивает лед. Температура на внешней поверхности воды, которая представляет собой сферу, всегда равна температуре окружающей среды $T_{0}$. А.Власов

Ф2559. В точке А, расположенной на расстоянии r от центра О незаряженной проводящей сферы радиусом R, находится точечный заряд q (рис.3). Сферу заземляют длинным тонким проводником. На сколько после заземления изменится потенциал M точки В, являющейся вершиной равностороннего треугольника АВО? Каким будет изменение вектора напряженности электрического поля в этой же точке? С.Крюков

Рис. 3

Ф2560. Имеется бесконечная сетка, сделанная из проволоки постоянного сечения,

Рис. 4

показанная на рисунке 4. Длина отрезка АВ равна а. Сопротивление единицы длины проводника равно U. Найдите сопротивление R AB между точками А и В. А.Бычков

Решения задач М2538–М2541, Ф2545–Ф2548

М2538. Петя расставляет 500 королей на клетках доски $100 u^{50}$ так, чтобы они не били друг друга. А Вася расставляет 500 королей на белых клетках (в шахматной раскраске) доски 100 u 100 так, чтобы они не били друг друга. У кого больше способов это сделать?

Ответ. Больше способов у Васи. Идея решения – сопоставить каждой Петиной расстановке некоторую Васину расстановку так, чтобы разным расстановкам были сопоставлены разные, а кроме того, указать Васину расстановку, не сопоставленую никакой Петиной расстановке. Приведем два способа сделать нужное сопоставление.

19

ЗАДАЧНИК

ке ABC на прямых BC, CA, AB взяты точки K a, K b, K c соответственно так, что прямые AK a, BK b, CK c пересекаются в одной точке. Определим точку K ab как точку пересечения прямой AC и прямой, параллельной BK b, проходящей через точку K a. Аналогичным образом определим K ac, K ba, K bc, K ca, K cb. Тогда шесть точек K ab, K ac, K ba, K bc, K ca, K cb лежат на одной конике. В случае, когда точки K a, K b, K c лежат на сторонах BC, CA, AB (а не на их продолжениях), конструкция аффинным преобразованием может быть сведена к условию данной задачи М2540. Отметим еще несколько свойств данной конструкции (читатель может попробовать вывести их самостоятельно): 1) H ca H cb H ab H ac H bc H ba (фактически, мы видели это при доказательстве); 2) треугольники H ab H bc H ca и H ac H ba H cb равны между собой и подобны треугольнику ABC; 3) U является центром симметрии, переводящей треугольник H a H b H c в треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH b H c, H a BH c, H a H b C; 4) U является серединой отрезка, соединяющего O (центр описанной окружности треугольника ABC) и ортоцентр треугольника H a H b H c. Окружность Z, существование которой доказано нами, известна как окружность Тэйлора. Это одна из окружностей, принадлежащих семейству так называемых окружностей Таккера, которые можно определить, например, таким образом. Рассмотрим $треугольники_{»}^{XYZ}$ ABC такие, что X лежит на прямой AB, Y – на BC, а Z – на CA. Окружности Таккера – описанные окружности таких треугольников XYZ. Другие описания и интересные свойства окружностей Таккера можно найти, например, в книге: R.Honsberger «Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry». И.Вайнштейн

$М2541^{*}$. Плоскость разбита на выпуклые семиугольники единичного диаметра. Докажите, что любой круг радиуса 200

«КВАНТА»

пересекает не менее миллиарда из этих семиугольников. (Диаметр многоугольника – это максимум среди расстояний между парами его вершин.)

Обозначим через O центр данного круга, и пусть K R – это круг радиуса R с центром в O. Пусть C – множество углов всех данных семиугольников, а C R  C – подмножество тех углов, у которых вершина принадлежит кругу K R. Для решения задачи достаточно доказать, что $C_{200} t 7$ ˜ $10^{9}$ (как обычно, |X| обозначает количество элементов в множестве X). В самом деле, тогда количество семиугольников, пересекающихся с кругом $K_{200}$, не менее $C_{200} 7 t 10^{9}$. Покажем, что среднее значение угла из множества C R не превосходит 2 S 3. Действительно, в «тройной развилке» среднее значение угла равно 2 S 3 (рис.1), а в более чем тройной развилке оно еще меньше. Если же вершина лежит на стороне

Рис. 1

Рис. 2

некоторого семиугольника (рис.2), то среднее значение угла в такой вершине не больше S 2. С другой стороны, рассмотрим множество углов T R всех семиугольников, имеющих непустое пересечение с кругом K R. Поскольку диаметр каждого семиугольника не превосходит 1, T R  $C R_{1}$. Для каждого многоугольника среднее значение угла при вершине равно 5 S 7, поэтому среднее значение угла в множестве T R также равно 5 S 7. Пусть k C R, m T R, так что T R \ C R m k. С учетом того, что каждый угол из множества T R \ C R меньше S (это верно для любого угла выпуклого многоугольника), баланс средних дает m k ˜ S k ˜ 2 S 3! m ˜ 5 S 7. Отсюда