МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
Еще раз о полуправильных многогранниках
С.КУЗНЕЦОВ
В«КАЛЕЙДОСКОПЕ «КВАНТА» В №11 ЗА
2018 год мы рассказывали о полуправильных многогранниках, т.е. выпуклых многогранниках, грани которых суть правильные многоугольники и все вершины устроены одинаковым образом. Была приведена полная классификация таких многогранников: две бесконечные серии – призмы и антипризмы, пять правильных многогранников (платоновых тел: икосаэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) и еще 14 многогранников, традиционно называемых архимедовыми. Полуправильный многогранник определяется типом вершины: информацией, какие многоугольники сходятся к ней и в каком порядке. Например, 3,4,4, т.е. «треугольник–квадрат–квадрат» – это треугольная призма. При этом одному из типов вершин, а именно 3,4,4,4, отвечают сразу два многогранника: ромбокубооктаэдр и псевдоромбокубооктаэдр. Псевдоромбокубооктаэдр стоит среди полуправильных многогранников особняком – и дело не только в том, что его открыли в XX веке, в то время как остальные были извес-
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190304
Рис. 2
тны еще древним грекам. В отличие от других полуправильных, этот многогранник не обладает глобальной симметрией, или свойством транзитивности: хоть любые две его вершины и устроены одинаковым образом, не всегда их можно совместить движением, переводящим многогранник в себя. Из-за этого псевдоромбокубооктаэдр не всегда относят к архимедовым телам, и тогда последних остается 13. Наш постоянный читатель О.Лазутченко задал следующий интересный вопрос. Псевдоромбокубооктаэдр получается из обычно-
Рис. 1
го ромбокубооктаэдра поворотом «шапочки» (рис.1). Эта «шапочка» называется n- скатным куполом, где n – число сторон ее верхней грани. А что будет, если повернуть «шапочку» у другого полуправильного многогранника – ромбоикосододекаэдра (рис.2)? Результат немного разочаровывает: получившийся многогранник еще дальше от «правильности», чем полуправильные. У него по-прежнему к каждой вершине сходятся четыре правильных многоугольника – треугольник, два квадрата и пятиугольник, но в разном порядке. У некоторых вершин порядок остался 3,4,5,4, а у других стал 3,4,4,5. Однако почему бы не рассмотреть полуправильные многогранники в слабом смысле: потребовать, чтобы к каждой вер-
30
К В А НT 2019/№3
шине сходился одинаковый набор многоугольников, но в произвольном порядке? Давайте попробуем перечислить все многогранники, полуправильные в слабом смысле. Воодушевляет на такое исследование следующий более общий факт. Отбросим любые условия на вершины и потребуем только, чтобы у многогранника все грани были правильными многоугольниками – все равно, кроме призм и антипризм, получится конечное число разных многогранников! Такие многогранники называются правильногранными. Полная классификация правильногранных многогранников приведена в статье В.А.Залгаллера «Выпуклые многогранники с правильными гранями» (Записки научных семинаров ЛОМИ, №2, 1967, с.5–221). Статья Залгаллера доступна по адресу http://mi.mathnet.ru/znsl1408 – несмотря на ее большой объем и сложность, мы очень советуем читателю ознакомиться с ней. Семейство правильногранных многогранников включает в себя пять платоновых тел, 13 архимедовых плюс псевдоромбокубооктаэдр, бесконечные серии призм и антипризм, а также еще 91 многогранник. Эти последние многогранники называются джонсоновыми телами по имени автора статьи, в которой они впервые все были перечислены: N.W.Johnson. Convex polyhedra with regular faces (Canadian Journal of Mathematics, vol.18, 1966, p.169–200, https://doi.org/ 10.4153/CJM-1966-021-8). Псевдоромбокубооктаэдр также относится к джонсоновым телам, если его не причислять к архимедовым; тогда джонсоновых тел становится 92. В своей работе Н.Джонсон приводит перечень всех джонсоновых тел, но не доказывает, что других не бывает (это сделал в упомянутой выше статье В.А.Залгаллер). Нас интересуют полуправильные в слабом смысле многогранники, не являющиеся таковыми в сильном смысле. Ясно, что все они суть джонсоновы тела. Значит, нам достаточно перебрать все джонсоновы тела и отобрать среди них те, у которых в каждой вершине сходятся одни и те же многогранники. Особенно удобно делать это по статье Джонсона, где для каждого многогранника указаны типы его вершин, т.е. какие многоугольники и в каком количестве сходятся в каждую вершину.
Наш перебор дает 6 новых правильногранных многогранников, у которых в каждой вершине сходятся те же многоугольники, но в разном порядке. Интересно, что все они получаются из архимедовых многогранников с помощью операции «поворота шапочки», описанной в начале статьи. Перечислим эти шесть многогранников. Во-первых, поворотом купола у ромбоикосододекаэдра, как предложил нам О.Лазутченко, можно получить целых четыре многогранника (у Джонсона они имеют номера 72– 75). Многогранников получилось несколько, потому что можно повернуть не один, а два или даже три купола. Надобно только следить, чтобы эти купола не имели общих граней: при повороте купол «ломает» все смежные с ним купола. Если повернуть один купол, то получится скрученный ромбоикосододекаэдр (рис.3). Два купола можно повернуть двумя способами – либо один напротив другого, и тогда получится дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр (рис.4); либо два непротиволежащих, что дает дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр (рис.5). Наконец, три непересекающихся купола можно выбрать только одним способом; повернув их, получим трижды скрученный ромбоикосододекаэдр (рис.6). По Залгаллеру, скрученные версии ромбоикосододекаэдра обозначаются так: или .
Рис. 3
Рис. 5
Рис. 4
Рис. 6