Задачи М2606—М2609; Ф2613—Ф2616

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача М2607 предлагалась на заключительном этапе XII Олимпиады имени Л.Эйлера, задача М2608 – на XXIII Кубке памяти А.Н.Колмогорова. Задачи Ф2613–Ф2616 предлагались школьникам, окончившим восьмой класс, на летней олимпиаде СУНЦ МГУ. Автор задач – С.Варламов.

Задачи М2606–М2609, Ф2613–Ф2616

M2606. Три окружности $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ проходят через одну точку D и пересекаются вторично в точках A, E, F, как показано на рисунке 1. Известно, что $Z_{3}$ проходит

M2608. Из четырех реек сделали шарнирный выпуклый четырехугольник. Затем две точки на его противоположных сторонах соединили еще одной рейкой (рис.2),

Рис. 2

Рис. 1

через центр B окружности $Z_{2}$. Прямая EF вторично пересекает $Z_{1}$ в точке G. Докажите, что ‘ GAB 90 q. К.Кноп

M2607. Дано натуральное число n. Множество A, составленное из натуральных чисел, таково, что для любого натурального числа m d n во множестве A есть число, делящееся на m. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех элементов множества A? А.Кузнецов но конструкция осталась нежесткой. Следует ли из этого, что данный четырехугольник – параллелограмм? А.Заславский M2609. Дано натуральное n t 2. Все клетки таблицы n u n красят в несколько цветов так, чтобы не нашлось квадрата 2 u 2, состоящего из четырех клеток одного и того же цвета. Пестрым путем длины k будем называть последовательность различных клеток $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{k}$ такую, что для всех 1 d i d k 1 клетки $a_{i}$ и $a_{i} 1$ имеют общую сторону и раскрашены в разные цвета. При каком наибольшем k в таблице найдется пестрый путь длины k вне зависимости от раскраски клеток таблицы? Н.Белухов