Решения задач М2594—М2597; Ф2601—Ф2604

18

КВАН T 2020/№6

Ф2613. Для изучения циклона, который со средней скоростью 20 км ч перемещался к северу, с одного аэродрома были направлены два беспилотных летательных аппарата – БПЛА – с разными полетными заданиями. Каждый аппарат должен был, оставаясь от центра циклона на расстоянии 20 км по горизонтали и двигаясь с постоянной скоростью относительно окружающего воздуха 20 м с на определенной высоте (одинаковой для обоих аппаратов), облетать центр циклона. Один аппарат – по часовой стрелке (если смотреть сверху), а второй – против часовой стрелки. В момент старта расстояние от аэродрома до центра циклона как раз равнялось 20 км. Через 15 часов полета оба БПЛА практически одновременно приземлились на одном аэродроме, расположенном севернее аэродрома, с которого они взлетали, причем все время полета каждый строго выполнял заложенную в память компьютера программу полета. Сколько кругов вокруг центра циклона совершил один из БПЛА, если второй все время двигался по отношению к земле по прямой линии и не совершил ни одного круга?

Как изменилась за это же время температура в сосуде слева?

Ф2614. Сосуды кубической формы заполнены морской водой, и начальная температура воды 0 q C в обоих сосудах одинакова. Длины ребер кубов относятся как 1:3. Боковые стенки и дно каждого сосуда имеют очень малые теплоемкости и ток не проводят – за исключением правых и левых стенок. А эти левые и правые стенки сделаны из тонких медных листов. На короткое время ключ в цепи (рис.3) замыкают и снова размыкают его. В сосуде справа температура воды за короткое время протекания тока поднялась на 1 градус.

Решения задач М2594–М2597, Ф2601–Ф2604

Рис. 3

Ф2615. К идеальной батарейке через переменный резистор подключен вольтметр. Он показывает напряжение U = 3В. Когда сопротивление переменного резистора уменьшили в три раза, вольтметр показал напряжение 2U = 6В. Что покажет вольтметр, если сопротивление резистора уменьшить еще в два раза?

Ф2616. Школьники создали систему телефонной связи с помощью нити и двух пластиковых стаканчиков (рис.4). Они

Рис. 4

использовали нить №20. Номер пряжи (нити) определяется количеством мотков, которые содержатся в 1 кг этой пряжи при длине нити в каждом мотке 1000 м. Длина телефонной линии L = 100 м. Сила натяжения нити F = 10 Н. С какой задержкой по времени в передаче звука работает такая телефонная линия?

M2594. Известно, что для некоторых x и y суммы sin x + cos y и sin y + cos x – положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа m и n, что m sin x + n cos x – натуральное число. Пусть sin x cos y a и sin y cos x b. Тогда cos y a sin x и sin y b cos x. Возведем эти два равенства в квадрат и сложим их. В силу основного тригонометрического тождества получим $1 a^{2} b^{2} 2 a$ sin x 2 b cos x 1, т.е. 2 a sin x 2 b cos $x a^{2} b^{2}$. Пусть N – НОК знаменателей чисел a и b; тогда, умножив полученное равенство на $N^{2}$, получим требуемое. Н.Агаханов

M2595. а) Коля и Дима играют в игру на доске 8 ¥ 8, делая ходы по очереди, начинает Дима. Коля рисует в клетках кре-

32

КВАН T 2020/№6

Дверь распахнулась, и в Ам-бар вошли Бусенька и таракан Кузька. – Обожаю кататься на велосипеде, – тут же похвастался Кузька, снимая шлем. – Ты? На велосипеде? – не понял дятел Спятел. – Он раз в сто тебя выше, как ты можешь на нем кататься? – Легко! – сказал Кузька. – Я же не педали люблю крутить, а кататься. Запрыгиваю на колесо – и вперед! А педали крутит Бусенька. – Но как ты удерживаешься на колесе? – Держусь за спицу! Это настоящий аттракцион. Закручивает получше американских горок! – И рисунки получаются классные! – добавила Бусенька. – Мне кажется, кто-то из нас спятил, – удивилась Огрыза. – Какие еще рисунки? – Я качусь на велосипеде и при этом рисую! Красивые линии получаются. Огрыза схватилась за голову. – Все очень просто, – объяснила Бусенька, – я аккуратно еду на велосипеде вдоль стены, а Кузька сидит на ободе, держит фломастер и, вращаясь вместе с колесом, вычерчивает на стене линии! Получается

Рис. 1

очень здорово. Вот смотрите, я сфотографировала. Это называется циклоида (рис.1)! – Ой, какая хорошая линия, – воскликнула Огрыза, – жаль, вы не показали мне ее раньше. Был бы тогда у меня матрас в циклоидальную полосочку. – Кажется, кто-то еще спятил, – сообщил Кузька. – Все в порядке, – пояснил дятел Спятел. – Огрыза только что рассказывала мне, что собирается изготовить матрас и набить его опилками. Она уже сшила чехол, но у нее совсем нет опилок. – А много нужно опилок? – спросила Бусенька. – Думаю, килограммов 10 хватит, – сказала Огрыза. – Если опилок нет в продаже – мы их сами напилим! – вдруг оживился дятел Спятел. – У тебя случайно нет лишнего шкафа? – Не дам, – сказала Огрыза.

– У коллеги Спрудля есть отличная фанера! – вспомнила Бусенька. – Свежайшая, запах изумительный. Он делает ремонт в своем казино и собирается перегородить зал фанерной стенкой. Кажется, это то, что нам надо. – С коллегой Спрудлем невозможно иметь дело, – решительно возразила Огрыза. – Он тебя обсчитает, обвесит, а потом вместо репки подсунет гнилую брюкву! – И в итоге ты еще окажешься ему должна! – поддакнул Кузька. – Верно, – согласился дятел Спятел. – Но… мы не будем поступать так прямолинейно. Если по-настоящему заинтересовать коллегу Спрудля, то получится все, как вы сказали, только с балансом в нашу пользу! – Он же не наглухо перегородит свое казино, – предположила Бусенька, – останется дверной проем… Или арка… – Арка! – воскликнул дятел Спятел. – Мы предложим ему вырезать в новой стене проем в форме арки циклоиды! Он не устоит! – Нужно рассчитать площадь, чтобы из вырезанной части можно было напилить требуемое количество опилок, – подхватила Бусенька. – Сейчас рассчитаю, – деловая хватка у Огрызы была потрясающая. – Лист стеновой фанеры 1,5 м u 1,5 м имеет массу 32 килограмма, значит, нам нужно, сейчас, сейчас… $0,7 м^{2}$ фанеры. Остался пустячок – подобрать циклоиду, у которой площадь арки равна $0,7 м^{2}$. А подходящее велосипедное колесо для вычерчивании циклоиды я вам подберу из своих запасов. – Чем больше колесо, тем интереснее кататься, – прокомментировал Кузька. – Не надо больше. Мы же не фабрика по производству отходов! Мы всё точно вычислим. Ты не помнишь, – беззаботно спросил дятел Спятел Бусеньку, – по какой формуле считается площадь арки циклоиды, вычерчиваемой с помощью колеса $радиуса^{r?}$ – Сколько-то эр квадрат, – откликнулась Бусенька. – Ее еще в XVII веке нашли. Но я уже забыла. Придется заново выводить. Бусенька подошла к стенке. – Представим себе, что здесь стоит колесо $радиуса^{r.}$ Центр колеса находится в точке C, а в точке K обода этого колеса стоит Кузька (рис.2). Он крепко держится за спицу CK. Сейчас мы покатим колесо, и Кузька вычер-

33

МАТЕМАТИ Ч Е С КИ Й

Рис. 2

тит на стене циклоиду. Ширина арки циклоиды (расстояние KL) равна длине окружности, т.е. 2 S r. А самая высокая точка циклоиды получается в тот момент, когда колесо отъехало на расстояние $S^{r}$. Рассмотрим момент, когда колесо немного проехало, доехав до точки X, а спица, за которую держится Кузька, повернулась на угол M (рис.3). В этом случае длина дуги $KX равна^{rM}$ – и она же равна расстоянию, кото- Рис. 3 рое проехало колесо, т.е. $OX^{r} M$. Проведем через точку K горизонтальную прямую, пусть она пересекает во второй раз окружность в точке K c. Поместим в $точку^{K} c...$ кого бы? Нужен еще один доброволец. Кто хочет прокатиться? – Предлагаю поместить в эту точку Кузькиного приятеля Акзюка, – сказал дятел Спятел. – Какого еще Акзюка?! – не понял Кузька. – Я не знаю никакого Акзюка! – Конечно, – воскликнула Бусенька, – я могла бы и сама догадаться. Акзюк накарат! Итак, в точке K на ободе сидит Кузька, а в точке K c на другой половине обода сидит Акзюк. – Почему это он сидит? – вмешалась Огрыза. – Это Кузька сидит. А Акзюку, чтобы все время находиться в точке, симметричной Кузьке, придется бежать по вращающемуся колесу! – Ну и пусть бежит, – согласилась Бусенька, – он ведь у нас воображаемый. Как бы то ни было, Кузька вместе с точкой K описывает циклоиду, вместе с точкой K движется и точка K c, так что Акзюк тоже описывает некоторую линию. – Кажется, я где-то видел эту линию, – неуверенно сказал Кузька.

К РУЖ ОК

– Конечно, видел. Присмотримся, как мы нарисовали картинку. Мы фактически отложили $отрезок^{OX} длиной^{rM}$ вправо от $точки^{O,}$ поставили на точку X окружность, провели вертикальный диаметр XX c и от радиуса CX отложили угол XCK, равный M. Полученная точка K лежит на циклоиде. На нашей картинке $‘^{K} c^{CX} c ‘^{KCX} c S M$. Обозначим через O c самую высокую точку на нашей циклоиде. Тогда расстояние O c X c равно $S_{r}^{r} S M.$ Получается, что мы можем построить точку K c так: отложим от точки O c горизонтальный отрезок $O c X c длиной^{r} S M$, подвесим к точке X c колесо, а потом отложим в нашем колесе угол X c CK c, равный S M. – Значит, точка K c движется по циклоиде, которая получается, если катить влево по пунктирной прямой колесо, находящееся снизу от нее! – догадался дятел Спятел. – Я понял! – воскликнул Кузька, – «Акзюк» – это «Кузька» наоборот! – Да! Теперь считаем площадь. Нарисуем циклоиды, по которым двигались Кузька и Акзюк, получится фигура в виде лепестка. Ясно, что площадь полной арки циклоиды равна площади прямоугольника, в котором помещается половина арки, плюс площадь лепестка (рис.4).

Рис. 4

– С прямоугольником все понятно, – сказала Огрыза, – его площадь равна $2 S^{r} 2$. А как найти площадь лепестка? – Для этого применим настоящую средневековую магию! Напомню, в точке K на ободе колеса находится Кузька, а в точке K c на другой части обода – Акзюк. Когда колесо вращается, точка K поднимается выше, и отрезок KK c тоже перемещается вверх. Лепесток между циклоидами состоит из всевозможных отрезков KK c, построенных для всех положений точки K на восходящей ветви циклоиды. Ну так нарисуем где-нибудь в сторонке неподвижное колесо и аккуратненько перенесем все отрезки KK c по горизонтали так, чтобы их концы оказались