Изобретая логарифмическую линейку

Квант 2021, №9 с. 18 Тег THDA

ДВ.КЛЕПЦЫН

О КАК МИНИМУМ 1960-Х ГОДОВ логарифмическая линейка была непременной принадлежностью инженера. Она позволяла быстро выполнять различные действия – умножать, возводить в степень и многое другое, что сейчас для нас делает компьютер, калькулятор или иногда даже приложение на телефоне. А как она была устроена? Давайте разберемся наиболее надежным способом: придумаем ее сами – а заодно научимся с ней обращаться. Начнем с гораздо более простого вопроса: а как бы нам сделать что-нибудь, что позволяло бы одним движением складывать (небольшие) числа? Представим себе, что мы взяли две (настоящие, деревянные!) линейки, причем на одной из них шкала у верхней границы (как это обычно бывает), а на другой у нижней (а вот так почти никогда не бывает, но можно же и самим перенести деления с одной линейки на другую). Приложим их друг к другу так, чтобы совпали нули – тогда шкалы на них совпадают (рис.1). Сдвинем теперь одну из них, нижнюю, вправо – скажем, на 2 см. Что будет тогда напротив отметки 3 см на той же линейке? Эта отметка на расстоянии в 3 см от нуля на нижней линейке – который сам находится на расстоянии в 2 см от нуля на верхней. Значит, всего эта отметка находится на расстоянии 2 см 3 см 5 см от нуля на верхней линейке, и напротив отметки в 3 см мы видим отметку 5 см. Ура! Всего лишь с помощью абзаца рассуждений и двух линеек мы научились механически складывать 2 3 и получать в ответе 5. Но лиха беда начало! А как складывать двузначные числа? Да точно так же. На линейке ведь обычно есть

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210902

Рис. 1. Сложение с помощью двух линеек

не только сантиметровая, но и миллиметровая шкала. И можно сказать, что 16 27 43, можно, что 16 мм 27 мм 43 мм, а можно, что 1 см 6 мм 2 см 7 мм 4 см 3 мм (см. рис.1). Ну хорошо. Мы научились механически, сдвигом линейки, складывать однои двузначные числа. Но умножать-то труднее! Как бы нам и эту операцию переложить на нашего механического помощника? Давайте сначала представим себе, что мы хотим умножать друг на друга не любые числа, а только 10, 100, 1000 и так далее. Не то чтобы это было очень сложно: когда мы умножаем друг на друга числа вида «единица и сколько-то нулей», нам нужно просто сложить количество нулей: скажем, 100 u 1000 100000. Постойте, сложить? Так это мы уже умеем! Давайте опять возьмем нашу линейку и вместо деления «1 см» поставим 10, вместо деления «2 см» поставим 100,

КВАН T 2021/№9

Рис. 2

следовательно, четырехугольник ABEO вписанный. Аналогично, CFOD вписанный. Отсюда, с использованием параллельности AB P CD, получаем OFE ODC OBA OEA. Но из равенства OFE OEA следует касание окружности (EOF) и прямой AE. Аналогично доказываем касание окружности (EOF) и прямой DF. Задача решена. Возможен и другой подход к решению (в котором вообще не используются точки B и C), основанный на таких соображениях: радикальная ось окружностей (AOD) и (EOF) – это средняя линия трапеции AEFD, поэтому она проходит через O; с другой стороны, радикальная ось делит пополам отрезок общей касательной, заключенный между точками касания. А.Кузнецов

M2655. Дана бесконечная клетчатая плоскость. Учительница и класс из 30 учеников играют в игру, делая ходы по очереди – сначала учительница, затем по очереди все ученики, затем снова учительница и т.д. За один ход можно покрасить единичный отрезок, являющийся границей между двумя соседними клетками. Дважды красить отрезки нельзя. Учительница побеждает, если после хода одного из 31 игроков найдется клетчатый прямоугольник 1 u 2 или 2 u 1 такой, что у него вся граница покрашена, а единичный отрезок внутри него не покрашен. Докажите, что учительница сможет победить.

Пусть учительница выберет квадрат K размера 100 u 100 и будет закрашивать от-

резки его границы, если это возможно. Пусть перед n-м ее ходом все эти отрезки закрашены. Тогда n d 401, поскольку всего на границе 400 отрезков. К этому моменту всего закрашено не более чем 30 400 отрезков, поэтому хотя бы один отрезок внутри квадрата K не закрашен. Каждым следующим ходом учительница будет закрашивать один из отрезков внутри K. Спустя несколько ходов все отрезки внутри K будут закрашены. Тогда перед ходом игрока, который закрасит последний из таких отрезков, найдется искомый прямоугольник 1 u 2, и учительница победит. М.Дидин, А.Кузнецов

M2656. Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_{1} a_{2}$ … такова, что при каждом n! 100 число $a_{n}$ равно наименьшему натуральному числу, большему $a_{n} 1$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_{1}, a_{2}$ , … $, a_{n} 1$ . Докажите, что в такой последовательности лишь конечное число составных чисел.

Положим $A a_{n}$ . Докажем, что все числа $a_{m}$ , большие чем $A^{2}$ , – простые числа. Предположим противное. Тогда $a_{m}$ имеет делитель d такой, что $a d a_{m}$ . Согласно определению $a_{m}, d$ не является ни одним из $a_{1}, a_{2}$ , … $, a_{m} 1$ . Значит, $a_{k} d a_{k} 1$ для какого-то k ^ 100,101, …, m 1 . Раз d не было выбрано в качестве $a_{k} 1$ , оно делится на какое-то $a_{i}, i$ ^ 1,2, …, k . Но тогда и $a_{m}$ делится на $a_{i}$ . Противоречие. П.Кожевников

M2657*. Натуральные числа n! 20 и k! 1 таковы, что n делится на $k^{2}$ . Докажите, что найдутся натуральные числа a, b и c такие, что n ab bc ca.

Заметим, что из равенства $n a^{2} a b a c$ следует равенство n ab bc ca. Поэтому для решения задачи достаточно найти такое натуральное a, что число $n a^{2}$ раскладывается в произведение двух натуральных чисел x и y, больших a (тогда можно положить b x a и c y a ). Согласно условию, $n lp^{2}$ для некоторых простого p и натурального l.

ИГРЫ И ГОЛОВОЛОМКИ

Неисчерпаемый танграм

(начало см. на 2-й с. обл.)

В «Кванте» танграм уже неоднократно обсуждался (см., например, статью А.П.Савина «Задачи на разрезание» в «Кванте» №7 за 1987 г. и статью А.Панова «Загадка фигуры №51» в №12 за 1982 г.), но эта игра-головоломка настолько богата, что рассказывать о ней можно снова и снова. В танграме не просто семь элементов, а глубоко продуманная система, которая содержит ряд закономерностей и выявляет несколько уровней понимания отношений между ними. Площади элементов являются степенями двойки. Если площадь маленького треугольника принять за 1, то площади трех средних фигур равны 2, а площади больших треугольников равны 4 (рис.1). Суммарная площадь всех элементов тоже степень двойки – она равна 16.

Рис. 1

Три средних элемента – квадрат, параллелограмм и треугольник – представляют собой все возможные комбинации двух маленьких треугольников. Если мы хотим, чтобы стороны фигур точно подходили по длине, то гипотенузу маленького треугольника надо прикладывать к катету среднего треугольника, а гипотенузу среднего треугольника – к катету большого. Если проделать это последовательно, то каждый раз равнобедренный прямоугольный треугольник будет удваиваться (рис.2). Подключая остальные элементы танграма, этот процесс можно продолжить. Как сложить самый большой треугольник на рисунке 2?

Рис. 3

Аналогично можно построить и последовательность удваивающихся квадратов. Как из всех элементов танграма сложить самый большой квадрат на рисунке 3? Параллелограмм, входящий в набор танграма, отличается от остальных элементов: его свойства меняются при переворачивании (рис.4). Чтобы убедиться в этом,

Рис. 4

сложите большой квадрат из всех элементов, потом выньте параллелограмм, переверните его и попробуйте положить обратно – он не встанет на свое место, т.е. это будет уже другой параллелограмм. С этим связаны трудности при сборке некоторых фигур, поскольку иногда необходимо перевернуть параллелограмм. На этом же, кстати, «погорели» производители магнитного танграма: они приклеили магнит только с одной стороны параллелограмма и, тем самым, обеднили возможности сборки.

Рис. 5

Попробуйте по аналогии с рядами треугольников и квадратов построить из всех фигур танграма самый большой параллелограмм на рисунке 5.

(Продолжение следует)

А.Ковальджи

Рис. 2