Посмотрим на чертёж с разных сторон

Посмотрим на чертеж с разных сторон

В древности было принято представлять факты элементарной геометрии в виде чертежей, без текста. В таком же ключе написана очень популярная среди школьников книжка А. Акопяна «Геометрия в картинках» (МЦНМО, 2017). Многие преподаватели используют в своей практике решение задач по готовым чертежам. Но некоторые чертежи можно интерпретировать по-разному, т.е. на одном и том же чертеже можно увидеть различные факты. Приведем ряд примеров, начав с самых простых. Обоснования сформулированных фактов в большинстве случаев понятны из пометок на чертежах, но иногда потребуют кратких $комментариев.^{1.}$ а) Средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 0,5. б) Если через каждую вершину треугольника провести прямую, параллельную противолежащей стороне, то точки попарного пересечения прямых образуют треугольник, подобный исходному с коэффициентом 2.

Такой треугольник иногда называют «удвоенным».

2. а) Точка Н – точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника АВС. б) Точки А, В и С – ортоцентры треугольников ВНС, АНС и АНВ соответственно.

Четверку точек А, В, С и Н называют орто- центрической.

3. а) Ортоцентр Н остроугольного треугольника АВС является точкой пересечения биссектрис (центром вписанной окружности) его ортотреугольника A 1 B 1 C 1. б) Вершины А, В и С остроугольного треугольника являются центрами вневпи-

санных окружностей для его ортотреугольника$^{A}$ $1^{B} 1^{C} 1$.

Равенство углов, которые обозначены одинаковыми буквами, следует из того, что четырехугольники$^{ABA}$ $1^{B} 1,^{BCB} 1^{C} 1 и^{CAC} 1^{A} 1$ являются вписанными. Используется также, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

4. а) Если P и Q – точки касания вневписанной окружности треугольника АВС с продолжениями сторон АВ и АС, то отрезки АР и AQ равны полупериметру треугольника АВС. б) Пусть P и Q – точки касания окружности, вписанной в угол с вершиной А, тогда периметр треугольника, отсекаемого от угла касательной к окружности, проходящей между точками А и Р, не зависит от выбора касательной.

Для доказательства используется равенство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.

5. а) Точки пересечения продолжений биссектрис треугольника АВС с его описанной окружностью являются вершинами треугольника A 1 B 1 C 1, в котором прямые A 1 A, B 1 B и C 1 C содержат высоты. б) Точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника A 1 B 1 C 1 с его описанной окружностью являются вершина-