Апельсины, канализационные люки и разрезание длинного прямоугольника

Квант 2021, №9 с. 42 Тег 99NC

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

А. АКОПЯН

К праздничному столу апельсины часто режут круглыми дольками (рис.1). Обычно все дольки имеют одинаковую толщину, но задумывались ли вы, какие из этих долек содержат больше кожуры: те, которые относятся к той части, что ближе к центру апельсина, или те, которые ближе к краю? Оказывается, что если долька не является «шляпкой», то количество кожуры не зависит от того, к какой части апельсина она относится (конечно, мы считаем апельсин шаром). На рисунке 2 срезаны две дольки апельсина одинаковой толщины. Как вы думаете, на какой из долек больше кожуры? Рассмотрим разрез (сечение) апельсина плоскостью. Пусть радиус апельсина (с кожурой) $равен^{R,}$ а радиус внутренней части апельсина (апельсина без кожуры) $равен^{r}$ (рис.3). $Пусть^{d}$ — расстояние от центра апельсина до плоскости разреза. Найдем пло-

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210906

Рис. 2

Рис. 3

щадь желтого кольца, т.е. той части разреза, которая принадлежит кожуре. Обозначим радиусы кругов в разрезе $апельсина_{1}^{r} и_{1}^{R}. Площадь^{S}$ желтого кольца равняется разности площадей большого и маленького кругов, т.е. $S_{1}^{R} 2 S_{1}^{r} 2. C$ другой стороны, по теореме Пифагора $R_{1}^{2} R^{2} d^{2}$ , а $r_{1}^{2} r^{2} d^{2}$ . Подставив эти выражения в формулу $для^{S,}$ получим, $что^{S} S^{R} 2^{r} 2$ , т.е. зависит только от радиусов апельсина с кожурой и без кожуры. Из этого следует, что $если^{h}$ – толщина дольки апельсина, то объем кожуры в ней будет равен $S^{h} R^{2} r^{2}$ . Объяснить это можно, например, с помощью принципа Кавальери: объемы двух тел с равными по площади сечениями всех общих секущих их плоскостей, параллельных данной плоскости, равны (рис.4). Действительно, по принципу Кавальери, объем кожуры в дольке $толщины^{h}$ будет равен объему параллелепипеда (или цилиндра) с площадью основания $S^{R} 2^{r} 2$ и высотой h, т.е. $S h R^{2} r^{2}$ .