Задачи М2834—М2837; Ф2841—Ф2844

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2834–М2837 предлагались на региональном этапе LI Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2834–М2837, Ф2841–2844

M2834. Назовем набор чисел удачным, если его нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся еще одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным. А.Кузнецов

M2835. В каждой клетке доски 2 u 200 лежит по рублевой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть ее: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня – на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достается Соне. Соня может остановить игру в любой момент и забрать все полученные монеты. Какой наибольший выигрыш она может получить, как бы ни играла Даша? А.Кузнецов

M2836. Высоты BD и CE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H (рис. 1), высоты треугольника ADE пересекаются в точке F, точка M –

Рис. 1

середина стороны BC. Докажите, $что^{BH} CH t 2^{FM}$. А.Кузнецов

M2837. На графике функции $y x^{2}$ отметили 1000 различных точек, абсциссы которых – целые числа из отрезка [0; 100000]. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек $A, B, C, A c, B c,^{C} c$ таких, что площади треугольников ABC и A c B c C c равны. А.Терёшин

Ф2841. На шероховатой горизонтальной плоскости стоит клин (рис. 2). Шайбу кладут на шероховатую наклонную плоскость клина и сообщают шайбе

Рис. 2