ОЛИМПИАДЫ
XLVI Турнир городов
Задачи осеннего тура
Базовый вариант
8–9 классы
. Дан описанный пятиугольник ABCDE. Центр его вписанной окружности лежит на диагонали AC. Докажите, что AB + BC > CD + DE + EA. Е.Бакаев
2 (4). В ряд лежат 100 камней: черный, белый, черный, белый, …, черный, белый. Одной операцией либо выбирают два черных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашивают все эти белые камни в черный цвет, либо выбирают два белых камня, между которыми лежат только черные камни, и перекрашивают все эти черные камни в белый цвет. Можно ли за несколько таких операций получить ряд, в котором идут сначала 50 черных камней, а потом 50 белых? Е.Бакаев
3 (4). См. задачу M2818 «Задачника «Кванта». 4 (5). Мама и сын играют. Сначала сын режет головку сыра 300 г на 4 куска. Затем мама распределяет 280 г масла на 2 тарелки. Наконец, сын раскладывает куски сыра на те же тарелки. Он выиграет, если на каждой тарелке сыра будет не меньше, чем масла (иначе выиграет мама). Кто из них может победить, как бы ни действовал другой? А.Шаповалов
5 (5). Набор состоит из одинаковых трехклеточных уголков, у которых центральные клетки испачканы краской. Прямоугольную доску покрыли в один слой уголками, не выходящими за пределы доски, а затем убрали уголки. Испачканные клетки оставили на доске следы. Всегда ли по этим следам можно узнать, как именно лежали уголки? А.Грибалко
1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждающихся за ее полное решение. Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за разные пункты одной задачи суммируются).
10–11 классы
1 (3). См. задачу 2 базового варианта 8 – 9 классов. 2 (4). У двух многочленов с вещественными коэффициентами старшие коэффициенты равны 1. У каждого многочлена степень нечетна и равна числу его различных вещественных корней. Произведение значений первого многочлена в корнях второго равно 2024. Найдите произведение значений второго многочлена в корнях первого. С.Янжинов
3 (5). В ряд записаны 5 натуральных чисел. Каждое из них, кроме первого, – наименьшее натуральное число, на которое не делится предыдущее. Могут ли все пять чисел быть различными? Б.Френкин
4 (5). В равностороннем треугольнике ABC проведены отрезки ED и GF (рис. 1)
Рис. 1
так, что образовались два равносторонних треугольника ADE и GFC со сторонами 1 и 100 (точки E и G лежат на стороне AC). Отрезки EF и DG пересекаются в точке O, причем угол EOG равен 120q. Чему равна сторона треугольника ABC? М.Евдокимов
5 (5). Имеются чашечные весы без гирь и две кучи камней неизвестных масс, по 10 камней в каждой куче. Разрешается проводить сколько угодно взвешиваний, но на каждую чашу помещается не более 9 камней.
45
ОЛИМПИАДЫ
Всегда ли можно узнать, какая из куч тяжелее, или установить равенство их масс? С.Дориченко
Сложный вариант
8–9 классы
1 (4). Барон Мюнхгаузен взял несколько карточек и написал на каждой по натуральному числу (числа могут повторяться). Барон утверждает, что использовал только две различные цифры, зато когда он для каждой пары карточек нашел сумму чисел на них, то среди первых цифр этих сумм встретились все цифры от 1 до 9. Могут ли слова барона быть правдой? М.Дидин
2 (6). См. задачу M2821 а) «Задачника «Кванта». 3 (7). В остроугольном треугольнике ABC отмечены точки I и O — центры вписанной и описанной окружностей соответственно (рис. 2). Прямые AI и CI вторично пересека-
6 (10). См. задачу M2820 «Задачника «Кванта». 7 (10). Даны две строго возрастающие бесконечные последовательности положительных чисел, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Известно, что каждая последовательность содержит хотя бы одно число, которого нет в другой последовательности. Какое наибольшее количество общих чисел может быть у этих последовательностей? Б.Френкин
10–11 классы
1 (4). Петя записал на доске натуральное число. Каждую минуту Вася умножает последнее записанное на доску число на 2 или на 3 и записывает результат на доске. Может ли Петя выбрать начальное число так, чтобы в любой момент среди всех записанных на доске чисел количество начинающихся на 1 или 2 было больше, чем количество начинающихся на 7, 8 или 9, как бы ни действовал Вася? М.Дидин
2 (6). Клетчатую доску 20 u 20 разбили на двухклеточные доминошки. Докажите, что некоторая прямая содержит центры хотя бы десяти из этих доминошек. А.Юран
Рис. 2
ют описанную окружность треугольника ABC в точках N и M. Отрезки MN и BO пересекаются в точке X. Докажите, что прямые XI и AC перпендикулярны. Ф.Ивлев
- а) (5) См. задачу M2819 а) «Задачника «Кванта». б) (3) См. задачу M2819 б) «Задачника «Кванта». 5 (8). На каждой стороне выпуклого многоугольника построили треугольник, третья вершина которого – пересечение биссектРис. двух углов многоугольника, примыкающих к этой стороне. Докажите, что вместе эти треугольники покрывают весь многоугольник. Е.Бакаев
3 (7). Известно, что каждый прямоугольный параллелепипед обладает свойством: квадрат его объема равен произведению площадей трех его граней, имеющих общую вершину. А существует ли параллелепипед, который обладает этим же свойством, но не является прямоугольным? А.Буфетов
4 (8). Существует ли такая бесконечная последовательность действительных чисел , …, что и для всех натуральных k выполняется равенство a k a 2 k a 3 k a 4 k }? И.Лобацкий
5 (10). Дана окружность , а внутри нее – окружность (Рис. 3). Выбирают произвольную окружность , которая касается двух предыдущих, причем оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью проводят касательную к