Các bài toán M41—M45; Ф48—Ф54

Trong số này và các số tiếp theo, mục «Bài toán của Kvant» gồm các bài toán đã được đưa ra tại các kỳ thi toàn Liên bang về vật lý và toán học năm 1970. Sau mỗi bài toán, trong ngoặc ghi lớp học mà bài toán được đưa ra.

Ф48. Một sợi dây được quấn quanh trục phần ứng của máy phát điện, đầu dây có treo một vật. Khi hạ xuống, vật làm quay phần ứng. Khi phần ứng đã quay đủ nhanh, người ta nối một điện trở tải vào các cực của máy. Hãy biểu diễn trên đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ quay của phần ứng vào thời gian, tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động. (X)

Г. И. Косоуров

Ф49. Một ống hình chữ U chứa đầy nước. Không khí được hút ra khỏi một nhánh; áp suất không khí trong nhánh kia ở nhiệt độ $t = 20^\circ\text{C}$ bằng áp suất khí quyển. Cả hai đầu ống đều được hàn kín. Hiệu mực nước trong hai nhánh bằng 15 m. Hiệu mực nước trong hai nhánh sẽ bằng bao nhiêu nếu đun nóng ống đến $100^\circ\text{C}$? (IX—X)

Б. Б. Буховцев

Ф50. Trên một bàn nằm ngang nhẵn có hai khối lập phương giống nhau, mỗi khối có khối lượng $m$, được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng $k$ và chiều dài $l_0$ khi chưa dãn. Một lực $F$ không đổi về độ lớn và hướng đột ngột bắt đầu tác dụng lên khối lập phương bên trái (hình 1). Hãy tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất

Рис. 1.

Рис. 2.

49

giữa hai khối lập phương trong chuyển động tiếp theo của hệ. (X)

Б. Б. Буховцев

Ф51. Chụp ảnh một con hổ ở khoảng cách dưới 20 mét là nguy hiểm. Máy ảnh lỗ nhỏ có đường kính lỗ 1 mm phải có kích thước như thế nào để con hổ trên ảnh có dạng sọc? Khoảng cách giữa các sọc trên da hổ bằng 20 cm. (X)

А. Л. Стасенко

Ф52. Một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên. Thời gian đi lên hay thời gian rơi lớn hơn? (VIII)

Ф53. Trong một bình có hai chất lỏng không hòa tan với trọng lượng riêng $d_1$ và $d_2$, và độ dày các lớp tương ứng là $h_1$ và $h_2$. Từ mặt chất lỏng, người ta thả xuống bình một vật nhỏ có thể chìm, vật chạm đáy đúng vào lúc vận tốc của nó trở thành bằng không. Khối lượng riêng của vật liệu làm vật bằng bao nhiêu? (VIII)

М. М. Балацов

Ф54. Ampe kế trong mạch điện biểu diễn ở hình 2 sẽ chỉ bao nhiêu? Điện trở của ampe kế rất nhỏ. (VIII—IX)

А. Р. Зильберман

M41. Cho đường tròn, đường kính $AB$ của nó và điểm $C$ trên đường kính này. Dựng trên đường tròn hai điểm $X$ và $Y$ đối xứng nhau qua đường kính $AB$, sao cho đường thẳng $YC$ vuông góc với đường thẳng $XA$. (VIII)

M42. Các chữ số của một số có mười bảy chữ số nào đó được viết theo thứ tự ngược lại. Số nhận được được cộng với số ban đầu. Chứng minh rằng ít nhất một trong các chữ số của tổng của chúng là chẵn. (VIII)

Hình 3.

M43. Mỗi cạnh của một tam giác đều được chia thành $n$ phần bằng nhau. Qua các điểm chia kẻ các đường thẳng song song với các cạnh. Kết quả là tam giác được chia thành $n^2$ tam giác nhỏ (hình 3). Gọi «chuỗi» là một dãy các tam giác, trong đó không có tam giác nào xuất hiện hai lần và mỗi tam giác tiếp theo có chung một cạnh với tam giác trước đó. Số lớn nhất có thể có của các tam giác trong một chuỗi là bao nhiêu? (VIII—X)

M44. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $K$ tồn tại vô hạn số tự nhiên $T$ không chứa chữ số không trong cách ghi thập phân và sao cho $T$ và $KT$ có cùng tổng các chữ số. (X)

M45. Chứng minh rằng từ bất kỳ hai số sqrt nào cũng có thể chọn được $n$, tổng của chúng chia hết cho $n$, trong đó $n \geq 2$.