[Bài toán M56—M60; F66—F71]

32

BÀI TẬP
của Kvant

M56. Trên một đường tròn viết theo thứ tự tùy ý bốn số một và năm số không. Sau đó, vào khoảng giữa hai số giống nhau viết số một, còn giữa hai chữ số khác nhau — số không, rồi xóa các chữ số ban đầu. Chứng minh rằng, dù lặp lại quá trình này bao nhiêu lần, ta cũng không bao giờ nhận được một bộ gồm chín số một.

M57. a) Tìm số $k$, chia hết cho 2 và cho 9 và chỉ có 14 ước (kể cả 1 và $k$).

b) Chứng minh rằng nếu thay 14 bằng 15 thì bài toán có nhiều nghiệm, còn nếu thay 14 bằng 17 thì hoàn toàn không có nghiệm.

M58. Trên mặt phẳng cho ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Trên một trong chúng đánh dấu một điểm. Biết rằng các đường thẳng là các đường phân giác của một tam giác nào đó, còn điểm đã đánh dấu là một trong các đỉnh của nó. Dựng tam giác này.

M59. Có một số quả cân có khối lượng 1 g, 2 g, 3 g,…, $n$ g. Cần chia chúng thành ba đống bằng nhau về khối lượng. Với những $n$ nào thì làm được điều đó?

M60. Xét tất cả các số tự nhiên mà trong cách viết thập phân chỉ có các chữ số 1 và 0. Hãy chia các số này thành hai nhóm sao cho tổng của bất kỳ hai số khác nhau nào trong cùng một nhóm đều chứa trong cách viết thập phân của nó ít nhất hai số một.

F66. Một ampe kế và một vôn kế được mắc nối tiếp vào một pin có suất điện động 9 vôn và điện trở trong chưa biết (hình 1). Điện trở của các dụng cụ chưa biết. Nếu mắc song song với vôn kế một điện trở (giá trị của nó cũng

Trong số này, mọi bài toán toán học đều lấy từ cuốn sách mỏng “Các bài toán toán học”), ấn bản mới, đã sửa đổi của nó sẽ sớm được xuất bản.

Hình 1.
chưa biết), thì số chỉ của ampe kế tăng gấp đôi, còn số chỉ của vôn kế giảm đi một nửa. Số chỉ của vôn kế sau khi mắc điện trở là bao nhiêu?

A. R. Zilberman

F67. Thiết bị đệm (hình 2) gồm thanh $A$, lò xo $B$ lắp trên thanh, và ống lót dẫn hướng $C$. Ống lót có thể chuyển động bên trong một kênh được làm trong bức tường nặng $D$. Khi ống lót $C$ chuyển động, giữa mặt ngoài của nó và tường tác dụng một lực ma sát có độ lớn không đổi $F_{\tau p}$. Thanh chuyển động trong ống lót và lò xo chuyển động dọc theo thanh không có ma sát.

Một quả cầu khối lượng $M$, có vận tốc $v_0$ trước va chạm, đập vào mặt đầu của thanh $A$. Quả cầu sẽ bật ra với vận tốc nào?

Khối lượng của thanh, lò xo và ống lót nhỏ không đáng kể so với khối lượng của quả cầu. Hệ số cứng của lò xo $k$.

V. K. Peterson, Olympic Vật lí học sinh lần thứ 31 của Đại học Tổng hợp Moskva, năm 1970.

*) E. B. Dynkin, S. A. Molchanov, A. L. Rozental, A. K. Tolpgo, Các bài toán toán học, ấn bản thứ 3, “Nauka” (loạt “Thư viện trường Vật lí-Toán học”).

33

Hình 2.

B68. Thành bình chứa khí có nhiệt độ $T$. Nhiệt độ của khí là $T_1$. Trong trường hợp nào áp suất của khí lên thành bình lớn hơn: khi thành bình lạnh hơn khí ($T < T_1$) hay khi ấm hơn khí ($T > T_1$)?
G. Ya. Myaktsiev, Olympic vật lí học sinh lần thứ 31, Đại học Quốc gia Moskva, năm 1970.

B69. Một quả cầu chì được nhúng vào bình nước. Bề mặt nước trong bình sẽ uốn về phía nào do trường hấp dẫn bổ sung do quả cầu tạo ra?

B70. Một người đi xe đạp dễ dàng phát triển lực kéo 10 kG. Lực ma sát không vượt quá 5 kG. Có vẻ như trong vài giờ người đi xe đạp có thể đạt vận tốc vũ trụ cấp hai. Tuy nhiên, điều đó vẫn chưa ai làm được. Tại sao?
Olympic Vật lí-Toán học MIEM, năm 1969.

B71. Có một đoạn $AB$ tích điện đều. Hướng của điện trường do đoạn này tạo ra tại điểm $C$ là theo đường trung tuyến của tam giác $ABC$? theo đường phân giác của nó? theo đường cao? hay không theo đường nào trong các đường này?
Olympic Vật lí-Toán học MIPT, năm 1970.

Hãy giúp họa sĩ!

Họa sĩ phải vẽ một đường mảnh trong hình. Dĩ nhiên, có thể vẽ đơn giản một đường đen trên nền trắng, nhưng họa sĩ của chúng ta thích những màu sắc tươi sáng đa dạng.

Ta hãy đưa ra các giả thiết sau về khả năng in màu (xem hình ở bìa tạp chí). Ngoài màu trắng, có bốn màu cơ bản: hồng ($P$), vàng ($Ж$), lam ($Г$) và đen ($Ч$) — cùng bốn màu pha: đỏ ($P+Ж$), tím hoa cà ($P+Г$), xanh lục ($Ж+Г$) và nâu ($Ж+P+Г$). Màu đen pha với bất kỳ màu nào vẫn cho màu đen. Để đơn giản, ta coi như không có “bán sắc”.

Hỏi có thể vẽ một đường màu trên nền màu bằng bao nhiêu cách (cả đường lẫn nền có thể là bất kỳ màu nào, nhưng dĩ nhiên phải khác nhau; cũng có thể dùng màu trắng)? Đáp án hiển nhiên: 72 = 9x8. Có thể chọn bất kỳ trong 9 màu cho nền, rồi chọn bất kỳ trong 8 màu còn lại cho đường — trừ màu đã chọn cho nền.

Nhưng còn phải tính đến một tình huống nữa: vì các mực màu được chồng lên khi in không đồng thời mà tuần tự, nên chúng có thể lệch đi đôi chút so với nhau. Vì vậy, chẳng hạn, thay vì một đường xanh lục trên nền hồng, có thể xuất hiện một dải trắng và bên cạnh là một đường nâu (hoặc thậm chí riêng một đường đỏ và một đường tím hoa cà). Điều đó không phù hợp với chúng ta. Cứ để các màu lệch đi, nhưng đường dù sao cũng phải chỉ có một! Hãy tính xem họa sĩ có thể thỏa mãn yêu cầu này bằng bao nhiêu cách.