Về chu kỳ quay của các vệ tinh

VỀ CHU KỲ QUAY CỦA VỆ TINH

Tháng Chín năm 1970, trạm tự động «Luna 16» được phóng lên. Ngày 17 tháng Chín, nó đi vào quỹ đạo quanh Mặt Trăng với chu kỳ 1 giờ 59 phút (119 phút). Có thể nói gì về Mặt Trăng từ những dữ liệu này?

Hãy nhớ rằng khi phóng vệ tinh quanh Trái Đất, chu kỳ của nó thường vào khoảng một tiếng rưỡi (90 phút). Có thể nói gì về Trái Đất?

Hóa ra, từ những dữ liệu này có thể ước lượng mật độ của Mặt Trăng và Trái Đất.

Nếu độ cao của vệ tinh không lớn (so với bán kính của thiên thể mà nó quay quanh), thì có thể gần đúng coi rằng vệ tinh chuyển động gần bề mặt. Đặt gia tốc của lực hấp dẫn bằng gia tốc hướng tâm:

$$G \frac{M}{R^2} = \frac{v^2}{R} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R,$$

trong đó $G$ là hằng số hấp dẫn, $M$ là khối lượng của thiên thể, $R$ là bán kính của nó, $v$ là vận tốc của vệ tinh, $T$ là chu kỳ quay của nó. Tiếp theo, viết khối lượng theo bán kính:

$$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho,$$

trong đó $\rho$ là mật độ trung bình.

Thay biểu thức này vào công thức trước, ta được một kết quả đáng chú ý:

$$T = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}}.$$

Từ đó suy ra rằng chu kỳ quay của vệ tinh thấp chỉ phụ thuộc vào mật độ của thiên thể và không phụ thuộc vào kích thước của nó. Vì vậy, biết chu kỳ, có thể xác định mật độ của Mặt Trăng và Trái Đất. Bảng dưới đây cho các giá trị chu kỳ và mật độ của các hành tinh khác nhau trong hệ Mặt Trời.

| Thiên thể trung tâm | Mật độ ($\rho/cm^3$) | Chu kỳ |
| :— | :— | :— |
| Mặt Trời | 1,42 | 166 |
| Sao Thủy | 5,61 | 83 |
| Sao Kim | 5,16 | 87 |
| Trái Đất | 5,52 | 84 |
| Mặt Trăng | 3,36 | 108 |
| Sao Hỏa | 3,95 | 100 |
| Sao Mộc | 1,34 | 171 |
| Sao Thổ | 0,64 | 238 |
| Sao Thiên Vương | 1,36 | 170 |
| Sao Hải Vương | 1,30 | 174 |

Đối với Trái Đất, chu kỳ bằng 84 phút. Trên báo chí thường nêu một giá trị lớn hơn đôi chút. Điều đó có nghĩa là vệ tinh bay không quá thấp. Nếu ký hiệu độ cao của vệ tinh là $h$, thì không khó để nhận được công thức chính xác cho quỹ đạo tròn (hãy tự thử suy ra nó):

$$T = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}} \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{\frac{3}{2}} \approx T_0 \left(1 + \frac{3h}{2R}\right),$$

trong đó $T_0$ là chu kỳ của vệ tinh thấp (được nêu trong bảng), còn đẳng thức cuối cùng là gần đúng, đúng khi $h \ll R$. Cũng có thể nhận được công thức cho quỹ đạo elip nếu biết các định luật Kepler. Bạn sẽ đọc về chúng trong «Kvant» số 1 năm 1971.

Ya. A. Smorodinsky