Các bài toán M86—M90; F98—F102

⟦trang 33⟧

BÀI TOÁN

M86. Đáy của một hộp chữ nhật được lát bằng các viên gạch kích thước $2 \times 2$ và $1 \times 4$. Các viên gạch bị đổ ra khỏi hộp và trong đó mất một viên $2 \times 2$. Thay vào đó lấy được một viên $1 \times 4$. Chứng minh rằng bây giờ không thể lát kín đáy hộp bằng các viên gạch.

L. G. Limanov

M87. Chứng minh rằng nếu ba đường tròn cùng bán kính đi qua một điểm, thì ba điểm giao nhau từng đôi khác của các đường tròn ấy nằm trên một đường tròn có cùng bán kính (hình 1).

M88. Các hệ số $a, b, c$ của phương trình $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ phải thỏa mãn điều kiện nào để ba nghiệm của nó lập thành một cấp số cộng?

M. F. Bezborodnikov

M89. Chứng minh rằng trong mọi đa giác lồi, trừ hình bình hành, có thể chọn ba cạnh sao cho khi kéo dài chúng sẽ tạo thành một tam giác bao chứa đa giác đã cho. (Chẳng hạn, trên hình 2, nơi đa giác được viền bằng nét đen, ba đường thẳng đỏ thỏa mãn điều kiện cần thiết, còn ba đường xanh thì không.)

I. M. Yaelom

M90. Chứng minh rằng nếu $x_1 < x_2 < x_3 < \dots$ — các số tự nhiên,

$$\frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2} + \frac{\sqrt{x_3-x_2}}{x_3} + \dots$$

$$\dots + \frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n} < 1$$

$$+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n^2-1} + \frac{1}{n^2}$$

G. I. Natanson