Cầu vồng bị đốt cháy

55

Hình 4.

Từ sự đồng dạng của các tam giác AON và AMK, ta tìm được hệ thức:

$$\frac{AO}{MO} = \frac{AN}{KN} = \frac{AN}{CN} \cdot \frac{1+m}{m} = \frac{n}{m} (1+m),$$

và tương tự

$$\frac{BO}{NO} = \frac{m}{n} (1+n).$$

Bài tập

1. Cạnh của tứ diện đều ABCD bằng $a$. Tìm bán kính của mặt cầu đi qua các đỉnh $A, B$, tâm của mặt ACD và trung điểm của cạnh BC.

2. Trên đáy AC của tam giác cân ABC có điểm D sao cho AD=a, CD=b. Các đường tròn nội tiếp trong các tam giác ABD và BCD tiếp xúc với đường thẳng BD lần lượt tại các điểm M và N. Tìm độ dài MN.

3. Một tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn. Khoảng cách từ các điểm A và C đến đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại điểm B lần lượt bằng $a$ và $c$. Tìm đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B.

4. Trong một tam giác nhọn, hai đường cao lần lượt bằng 3 cm và $2\sqrt{2}$ cm, còn giao điểm của chúng chia đường cao thứ ba theo tỉ số 5:1, tính từ đỉnh của tam giác. Tìm diện tích tam giác.

5. Đáy của một lăng trụ tam giác đứng là tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $a$ và $b$. Một mặt phẳng nào đó cắt tất cả các cạnh bên của lăng trụ sao cho thiết diện là một tam giác đều. Xác định cạnh của tam giác này.

6. Trong hình chóp tứ giác đều SABCD, chiều cao bằng đường chéo của đáy ABCD. Qua đỉnh A, song song với đường thẳng BD, kẻ một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp trong hình chóp. Tìm tỉ số diện tích thiết diện với diện tích đáy của hình chóp.