Сожжённая радуга

55

Рис. 4.

Из подобия треугольников AON и AMK находим исключение:

$$\frac{AO}{MO} = \frac{AN}{KN} = \frac{AN}{CN} \cdot \frac{1+m}{m} = \frac{n}{m} (1+m),$$

и аналогично

$$\frac{BO}{NO} = \frac{m}{n} (1+n).$$

Упражнения

1. Ребро правильного треугольника ABCD равно $a$. Найти радиус сферы, проходящий через вершины $A, B$, центр грани ACD и середину ребра BC.

2. На основании AC равноведренного треугольника ABC расположена точка D так, что AD=a, CD=b. Okружности, выписанные в треугольника ABD и BCD, касаются прямой BD в точках M и N соответственно. Найти длину MN.

3. В окружность вписан треугольник ABC. Расстояния от точек A и C до прямой, касающейся окружности в точке B, равны $a$ и $c$ соответственно. Найти высоту треугольника ABC, проведенную из вершины B.

4. В остроугольном треугольнике две высоты равны соответственно 3 см и $2\sqrt{2}$ см, а точка их пересечения делит треугольную высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найти площадь треугольника.

5. В основании прямой треугольной признамы лежит прямогольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$. Некоторые плоскость пересекает все боковые ребра признамы так, что в сечении получается правильный треугольник. Определить сторону этого треугольника.

6. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD высота равна диагонали основания ABCD. Через вершину A параллельно прямой BD проведена плоскость, касающаяся вписанного в пирамиду шара. Найти отношение площади сечения к площади основания пирамиды.