Логарифмические уравнения

46

Логарифмические уравнения
В. В. Гольдберг

Логарифмические уравнения приято называть уравнения, содержащие неизвестную величины под знаком логарифма.
Решение простейшего логарифмического уравнения

$$\log_a x = b$$

(1)
основано на следующем свойстве логарифмов: если логарифмы двух (положимых) чисел по одному и тому же основанию $a(a > 0, a \neq 1)$ равны, то равны и сами эти числа.

Записав уравнение (1) в виде $\log_a x = \log_a a^b$ и воспользоваться указыным свойством, получим ответ: $x = a^b$.

Этот прием применим и для решения более сложных логарифмических уравнений вида

$$\log_a f(x) = b.$$

(2)
Для уравнения (2) получаем $f(x) = a^b$.

Пример 1. Решить уравнение

$$\log_5 [2 + \log_3(3+x)] = 0.$$

Решение е. Сначала получаем, что

$$2 + \log_3(3+x) = 5^0, \quad 2 + \log_3(3+x) = 1, \quad \log_3(3+x) = -1.$$

Далее находим: $3 + x = 3^{-1}, x = \frac{1}{3} - 3, x = -\frac{8}{3}$.

Некоторые логарифмические уравнения легко свойства к простейшим. Так, уравнения вида

$$f(\log_a x) = 0$$

(3)
заменой $\log_a x = y$ свойятся к уравнению $f(y) = 0$. Если $y_1, \dots, y_k$ — корни последнего уравнения, то мы получаем совокупность простейших логарифмических уравнений:

$$\log_a x = y_1, \dots, \log_a x = y_k.$$

Пример 2. Решить уравнение $\lg^3 x - \lg^2 x - 6 \lg x = 0$.

Решение е. Обозначим $\lg x$ через $y$. Тогда получим кубическое уравнение относительно $y$:

$$y^3 - y^2 - 6y = 0.$$

Решаем его: $y(y^2 - y - 6) = 0, y_1 = 0, y_2 = 3, y_3 = -2$. Рассматриваем три возможных случая:

a). $\lg x = 0, x_1 = 1$; 6) $\lg x = 3, x_2 = 1000$; b) $\lg x = -2, x_3 = 0,01$.

К уравнением вида (3) свойятся показательно-логарифмические уравнения, если их предварительно прополагарифмировать.

47

Прием 3. Решить уравнение $x^2 + \log_3 x = 3^8$.

Решение. Поскольку обе части уравнения положительные (ОДЗ: $x > 0$), приравниваем их логарифмы по основанию 3: $\log_3 x^2 + \log_3 x = \log_3 3^8$, откуда находится, что $(2 + \log_3 x) \log_3 x = 8$. Обозначая $\log_3 x$ через $y$, приходим к квадратному уравнению $y^2 + 2y - 8 = 0$ с корнями $y_1 = -4, y_2 = 2$. Разбиваем два случая:

a) $\log_3 x = -4, x_1 = 1/81$ 6) $\log_3 x = 2, x_2 = 9$.

Прием 4. Решить уравнение $9x^{\lg x} + 91x^{-\lg x} = 60$.

Решение. Введем обозначение $x^{\lg x} = y$; тогда $x^{-\lg x} = \frac{1}{y}$, иначе уравнение свойства к следующему уравнению относительно $y$: $9y^2 - 60y + 91 = 0$. Корни последнего $y_1 = \frac{13}{3}, y_2 = \frac{7}{3}$. Расматриваем обе возможности:

a) $x^{\lg x} = \frac{13}{3}$; логарифмируя, получаем $\lg x^{\lg x} = \lg \frac{13}{3}, \lg^2 x = \lg \frac{13}{3}$, откуда $\lg x = \pm \sqrt{\lg \frac{13}{3}}, x_1 = 10^{\sqrt{\lg \frac{13}{3}}}, x_2 = 10^{-\sqrt{\lg \frac{13}{3}}}$;

b) $x^{\lg x} = \frac{7}{3}$; аналогично тому, как это сделано в первом случае, находим $x_3 = 10^{\sqrt{\lg \frac{7}{3}}}, x_4 = 10^{-\sqrt{\lg \frac{7}{3}}}$.

При решении логарифмических уравнений часто дело свойства к решению уравнения типа

$$\log_a f(x) = \log_a g(x).$$

Здесь с помощью потенцирования надо перейти к уравнению

$$f(x) = g(x).$$

Но следует иметь в виду, что при максимере мы расширяем ОДЗ уравнения, и помому возможно появление посторонных корней. Поэтому надо проверить, входит ли каждой из корней уравнения (5) в ОДЗ уравнения (4).

Прием 5. Решить уравнение $\log_2(2x^2 - 2) = \log_2(5x - 4)$.

Решение. Находим ОДЗ:

$$\begin{cases} 2x^2 - 2 > 0, \\ 5x - 4 > 0, \end{cases}$$

то есть $$\begin{cases} x < -1, x > 1, \\ x > \frac{4}{5}. \end{cases}$$

Следовательно, ОДЗ: $x > 1$. Потенция данного уравнения, получим $2x^2 - 2 = 5x - 4$, или $2x^2 - 5x + 2 = 0$, откуда находим $x_1 = 2, x_2 = 1/2$.

Поскольку $x_2 = 1/2$ не входит в ОДЗ, уравнение имеет только одно решение: $x = 2$.

Хорошо известны следующие свойства логарифмов чисел:

$$\log_a(AB) = \log_a A + \log_a B \quad (A > 0, B > 0, a > 0, a \neq 1),$$

$$\log_a \frac{A}{B} = \log_a A - \log_a B \quad (A > 0, B > 0, a > 0, a \neq 1),$$

$$\log_a A^p = p \log_a A \quad (A > 0, p - \text{любое действительное число}),$$

$$\log_a q^p = \frac{p}{q} \log_a A \quad (A > 0, q \neq 0).$$

48

Как следует применять эти свойства логарифмов при решении логарифмических уравнений, когда выражения $A$ и $B$ содержат неизвестное?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что ОДЗ левой и правой части этих формул разные: например, правая часть формулы (6) имеет смысл только при $A > 0$ и $B > 0$, а левая часть этой формулы определяна как при $A > 0$ и $B > 0$, так и при $A < 0$, $B < 0$.

Аналогично и для остальных формул ОДЗ левой части может оказаться шире ОДЗ правой части (при этом в формуле (9) надо рассматривать допустимые значения входящей в основание величины $a$. Сказанное означает, что если мы будем использовать формулы (6)—(9) «справа налево», то в результате будем получить уравнение, являющееся следствием исходного (его ОДЗ может оказаться шире). При этом мы гарантированы в том, что не потребем корней. Но в этом случае мы можем приобрести построение корни. Поэтому все полученные корни надо проверить (если построение корни могли появиться только в результате использования формул (6)—(9), то достаточно проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ исходного уравнения).

Пример 6. Решить уравнение

$$\log_{\frac{1}{6}}(x-1) + \log_{\frac{1}{6}}(5x+3) = -2.$$

Решение. Находим ОДЗ:

$$\begin{cases} x-1 > 0, \\ 5x+3 > 0. \end{cases} \quad \begin{cases} x > 1, \\ x > -\frac{3}{5}. \end{cases}$$

Следовательно, ОДЗ такое: $x > 1$.

Приименя формулу (6) к левой части уравнения, получим

$$\log_{\frac{1}{6}}[(x-1)(5x+3)] = -2,$$

откуда находим $(x-1)(5x+3) = 36$, или $5x^2-2x-39=0$. Корни квадратного уравнения: $x_1=3$, $x_2=-13/5$.

Поскольку построение корни могли появиться только из-за использования формулы (6), достаточно проверить, входят ли полученные решения в ОДЗ уравнения (10). Следовательно, убеждаемся в том, что уравнение имеет единственное решение $x=3$. Заметим, что значение $x=-13/5$, не является уравнения (10), будет решением уравнения (11), ОДЗ которого шире: $x > 1$, $x < -3/5$.

Как же быть, если при решении логарифмического уравнения мы сталкиваемся с необходимостью использования формулы (6)—(9) «слева направо»? Ведь если формулы использованы в том виде, в каком мы их выписали, мы придем к уравнению, ОДЗ которого может оказаться уже ОДЗ исходного уравнения! Но тогда мы можем потерять часть корней!

Чтобы это не случайность, надо использовать более общие формулы:

$$\log_a(AB) = \log_a|A| + \log_a|B| \quad (AB > 0,a > 0,a \neq 1),$$

$$\log_a\frac{A}{B} = \log_a|A| - \log_a|B| \quad (AB > 0,a > 0,a \neq 1),$$

$$\log_aA^{2p} = 2p\log_a|A| \quad (A \neq 0,p - целое число),$$

$$\log_a^{2q}A = \frac{1}{2q}\log_a|A| \quad (A > 0,q \neq 0 - целое число).$$

49

Левые и правые части формул (6′) и (7′) так же, как и формул (6) и (7), имеют разные ограничения на А и В: левые части имеют смысл при А и В одинакового знака, а правые части — при любых ненулевых А и В.

Поэтому использование формул (6′) и (7′) «слева направо» приведем к уравнению, ОДЗ которого может оказаться ширнее. Но это уже менее странно, чем существие ОДЗ, либо теперь мы не можем потерять корней, а можем лишь прибрести построение. Как мы уже отмечали, в этом случае становится необходимой проверка получаемых решений (иногда достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ исходного уравнения).

Пример 7. Решить уравнение
$$\lg(x+1)^2 + \lg(x+9)^2 = 2\lg 9.$$ (12)

Чтобы предотвратить часть встречалось ошибки, приведем сначала неправильное решение.

С помощью формул (8) находим, что $2\lg(x+1) + 2\lg(x+9) = 2\lg 9$, или
$$\lg(x+1) + \lg(x+9) = \lg 9.$$ (13)

Примения формулу (6), получают данные
$$\lg[(x+1)(x+9)] = \lg 9,$$ (14)

откуда находим $(x+1)(x+9) = 9$, или $x^2 + 10x = 0$ и далее $x_1 = 0, x_2 = -10$. Проверка показывает, что она корня удовлетворяет уравнению (12).

Дадим теперь правильное решение уравнения (12).

Решение. Находим ОДЗ уравнения (12): $x \neq -9, x \neq -1$. Используя формулу (7′), получим $2\lg|x+1| + 2\lg|x+9| = 2\lg 9$, откуда находим, что $\lg|(x+1)(x+9)| = \lg 9$ и далее $|x^2 + 10x+9| = 9$.

Последнее равенство выполняется в любом из следующих случаях:

a) $x^2 + 10x+9 = 9, x^2 + 10x = 0, x_1 = 0, x_2 = -10$;
b) $x^2 + 10x+9 = -9, x^2 + 10x+18 = 0, x_3 = -5 + \sqrt{7}, x_4 = -5 - \sqrt{7}$.

Таким образом, уравнение (12) имеет четыре корня.

Ошибка в приведенном выше неправильном решения, как вы уже, очевидно, доказалось, заключалась в том, что применялась формула (8), а не (8′). Это приведено к уравнению (13) с более узкой ОДЗ: $x > -1$. Проведена на следующем шаге это частное компенсировалось: ОДЗ уравнения (14) шрире ОДЗ уравнения (13) — сюда входят как $x > -1$, так и $x < -9$. Последнее должно быть потерять корень $x_2 = -10$, но корни $x_3, 4 = -5 \pm \sqrt{7}$ оказались потерянными.

Пример 8. Решить уравнение
$$\lg[(x-2)(x+3)] + \lg[(x+3)/(x-2)] = 1.$$ (15)

Решение. Найдем ОДЗ: $(x-2)(x+3) > 0$, или $x < -3$ и $x > 2$.

Для решения использует формулы (6′) и (7′):
$$\lg|x-2| + \lg|x+3| + \lg|x+3| - \lg|x-2| = 1.$$

Приведя подобные члены, получим $\lg|x+3| = 1/2$, откуда находим:
$$|x+3| = \sqrt{10}, x+3 = \pm \sqrt{10}, x_1 = -3 + \sqrt{10}, x_2 = -3 - \sqrt{10}$$.

Проверка показывает, что $x = -3 - \sqrt{10}$ будет единственным решением уравнения (15).

При использовании формул (6) и (7) мы имеем бы
$$\lg(x-2) + \lg(x+3) + \lg(x+3) - \lg(x-2) = 1,$$
$$\lg(x+3) = \frac{1}{2}, x+3 = \sqrt{10}, x = -3 + \sqrt{10}.$$

При таком решении мы сначала сузили ОДЗ, что приведено к потере корня $x = -3 - \sqrt{10}$, а затем после уничтожения подобных членов расширили ОДЗ, что приведено к построению корня $x = -3 + \sqrt{10}$.

50

Еще один источник появления посторонних корней является применение основного логарифмического модесства

$$a^{\log_a b} = b \quad (b > 0, a > 0, a \neq 1)$$

в том случае, когда $a$ и $b$ содержат неизвестное.

Пример 9. Решить уравнение $x^{\log_x(x^2+1)} = 2$.

Решение. Используя тоскедство (16), получим $x^2+1=2$, откуда $x_1=-1, x_2=1$. Но значения $x=\pm 1$ не могут быть основанием логарифмов, то есть не входят в ОДЗ. Поэтому уравнение не имеет решений.

Если в уравнение входят логарифмы при разных основаниях, надо применять формулу перехода от одного основания логарифмов к другому:

$$\log_b A = \frac{\log_a A}{\log_a b} \quad (A > 0, a > 0, b > 0, a \neq 1, b \neq 1)$$

и ее частный случай

$$\log_b a = \frac{1}{\log_a b} \quad (a > 0, b > 0, a \neq 1, b \neq 1).$$

Пример 10. Решить уравнение

$$\log_3 x \frac{3}{x} + \log_3^2 x = 1.$$

Решение. Находим ОДЗ: $x > 0, x \neq \frac{1}{3}$. Используя формулу (17), перейдем в первом слагаемом к основанию 3; тогда получим

$$\frac{\log_3 \frac{3}{x}}{\log_3(3x)} + \log_3^2 x = 1,$$ или $$\frac{1-\log_3 x}{1+\log_3 x} + \log_3^2 x = 1.$$

Обозначим $\log_3 x$. через $y$, тогда уравнение примет вид

$$\frac{1-y}{1+y} + y^2 = 1$$ или $$y^3 + y^2 - 2y = 0,$$

откуда находим $y_1=0, y_2=-2, y_3=1$. Расматриваем три возможности:

a) $\log_3 x=0, x_1=1$; b) $\log_3 x=1, x_3=3$.

Пример 11. Решить уравнение

$$20 \log_ax \sqrt{x} + 7 \log_a^2 x^3 = 3 \log_x x^2 \quad (a > 0, a \neq 1).$$

Решение. Находим ОДЗ: $x > 0, x \neq \frac{1}{a}, x \neq \frac{1}{a^2}, x \neq \sqrt{a}$. Поскольку $x > 0$, мы можем применить формулу (8), что дает

$$10 \log_ax x + 21 \log_a^2 x = 6 \log_x x.$$

Теперь удобнее всего по формуле (18) перейти к одному и тому же основанию $x$. Но когда $x$ будет стоять в основании логарифмов, ОДЗ уравнения становится уже,

51

так как $x$ после этого не может быть равным единице. Поэтому, прежде чем перейти к основанию $x$, проверим, не является ли $x=1$ корнем уравнения. Легко видеть, что $x_1=1$ — корень. Перейдем теперь к основанию $x$:

$$\frac{10}{\log_x(ax)} + \frac{21}{\log_x(a^2x)} = \frac{6}{\log_x\frac{x}{\sqrt{a}}}.$$

Обозначим $\log_x a$ через $y$. Тогда получим

$$\frac{10}{1+y} + \frac{21}{1+2y} = \frac{6}{1-\frac{1}{2}y}.$$

После простых преобразований приходим к квадратному уравнению $13y^2-3y-10=0$, корни которого $y_1=1, y_2=-\frac{10}{13}$. В первом случае получаем $\log_x a=1, x_2=a$, а во втором $\log_x a=-\frac{10}{13}, x^{-\frac{10}{13}}=a, x_3=a^{-\frac{13}{10}}$.

Ответ: $x_1=1, x_2=a, x_3=a^{-\frac{13}{10}}$.

При решении логарифмических уравнений иногда удобно пользоваться следующей формулой:

$$A^{\log_a B}=B^{\log_a A} (A>0, B>0, a>0, a\neq1).$$

Доказательство формулы (19) очень простое: поскольку обе части этой формулы положительные, найдем логарифмы по основанию $a$ от $A^{\log_a B}$ и $B^{\log_a A}$. Нетрудно убедиться, что эти логарифмы равны одному и тому же выражению $\log_a A \log_a B$; из равенства логарифмов выводим справедливость формулы (19).

Пример 12. Решить уравнение $3^{\log_a x}+3x^{\log_a 3}=2 (a>0, a\neq1)$.

Решение. ОДЗ: $x>0$. В силу (19) $x^{\log_a 3}=3^{\log_a x}$.

Позному уравнению можно записать в виде $3^{\log_a x}+3\cdot3^{\log_a x}=2$, откуда находится, что $4\cdot3^{\log_a x}=2$, то есть $3^{\log_a x}=\frac{1}{2}$. Далее имеем $\log_a x=-\log_3 2, x=a^{-\log_3 2}$.

Упражнения

Решить уравнения:

1. $\log_3(3^x-1) \log_3(3^{x+1}-3)=6$.
2. $x^{\log_x(x+3)^2}=16$.
3. $x^{\log_3 x-\log_3 x}=3^{3\log_2 V^2+4}$.
4. $15^{\log_6 3} x^{\log_5(9x)}+1=1$.
5. $\lg(3x-11)+\lg(x-27)=3$.
6. $\frac{1}{\log_6(3+x)}+\frac{2\log_0.25(4-x)}{\log_2(3+x)}=1$.
7. $\lg\sqrt{1+x}+3\lg\sqrt{1-x}=\lg\sqrt{1-x^2}+2$.
8. $\log_x x^2-14\log_{16x}x^3+40\log_{4x}\sqrt{x}=0$.
9. $\log_x 10+2\log_{10x}10+3\log_{100x}10=0$.
10. $3x^{\log_6 2}+2^{\log_5 x}=64$.
11. $\lg x^2+\lg(x+10)^2=2\lg 11$.
12. $\lg[x(x+9)]+\lg\frac{x+9}{x}=0$.