Письменный экзамен по математике на химическом факультете МГУ в 1970 году

56

Писменный экзамен
по математике на химическом факультете МГУ в 1970 году

Н. Н. Колесников, В. М. Тихомиров

В 1970 году на химическом факультете МГУ по математике проводился только письменный экзамен.

Каждай варіант письменной работы содержал пять задач, охватывающих все основные разделы школьного курса математики — алгебру, геометрию и тригонометрию.

Разобрав четыре задачи одного из вариантов, мы увидим, что для их решения не требуется никаких знаний, выходящих за рамки программы по математике для построения вузы.

В связи с этим хотелось бы еще раз подчернуть, что у поступающих зачастую слабые навыки здравых логических расуждений и что им уделяется явно недостаточно внимание геометрическим задачам и теоремам.

Наряду с этим двумя прициппальными недочетами, на которые хотелось бы обратить внимание и учтелей, большой вред поступающим наносит небрежность и несобранность при выполнении и оформлении письменной работы, неумение доводить решение задачи и примеров до конца. Задча, в которой намечана идея решения, но не доведенная с необходимыми промежуточными расуждениями до ответа, не может считаться решенной до конца. Небрежность приводит также к разнообразным ошибкам и опискам, искажающим ход решения и результаты; иногда неправильно понимаются условия задачи, но задача с измененными условиями экзаменационной комиссии не рассматривается, даже если она оказывается более трудной.

Вариант

1. Из пункта A в пункте B выехал автоматically и одновременно из пункта B в пункта A выехал величидict. После встречи они продолжали свой путь. Автомобіль, доехав до пункта B, точас повернул назад и догнал влевопредстава через два часа после момента первого встречи. Сколько времени после первой встречи ехал величидict до пункта A, если известно, что к моменту второй встречи он проехал $2/5$ всего пути от B до A? (Скорости автоматически и величидict построены.)

2. Решить уравнение
   $$4\sqrt{3x^2-2x}+1+2=9.2\sqrt{3x^2-2x}$$

3. Найти все значения $x$, лежащие в промежуточке $-1<x<4$ и удовлетворяющие

$$\log_{0,75}\sin x \geq \log_{9/10}0,75.$$

4. Хорда $AB$ стягивает другуюости, равную $120^\circ$. Точка $C$ лежит на этой дуге, а точка $D$ лежит на хорде $AB$. При этом $AD=2$, $BD=1$, $CD=\sqrt{2}$. Найти площадь треугольника $ABC$.

5. Дана прямая треугольная признам $ABCA_1B_1C_1$ ($AA_1, BB_1, CC_1$ — боковые ребра), у которой $AC=6$, а $AA_1=8$. Через вершину $A$ проведена плоскость, пересекающая ребра $BB_1$ и $CC_1$, соответствующего в точках $M$ и $N$. Найти, в каком отношении делит эта плоскость объем признам, если известно, что $BM=MB_1$, а $AN$ — биссертиса угла $CAC_1$.

57

1. В этой задаче мы указываем лишь основные моменты решения.

Пусть $S$ — расстояние между пунктами $A$ и $B$, $v_a$ — скорость автомобиля, $v_b$ — скорость велосипеда, $t$ — время (в часах) от начала движения до первого встречи. Для четырех введенных величины ($S, v_a, v_b, t$) можно составить три уравнения:

$$\left( v_a + v_b \right) t = S,$$
$$\frac{2}{5} S = v_b (t + 2),$$
$$\frac{7}{5} S = v_a (t + 2).$$

Найти значения всех неизвестных невозможно, но это и не требуется, нужно найти величины $\frac{S}{v_b} - t$, являющихся комбинацией неизвестных. Для третье уравнения на второе, мы получаем, что $v_a = \frac{7}{2} v_b$.

Подставив это соответствие в первое уравнение и исключая $\frac{S}{v_b}$ из него и второго уравнения, мы находим $t = \frac{5}{2}$ часа. Из второго уравнения получится, что $\frac{S}{v_b} = \frac{45}{4}$ часа, а исключое время $\frac{S}{v_b} - t$ равно $\frac{35}{4}$ часа, то есть 8 часа 45 минут.

Заметим, что эта задача (как и вообще все первые задачи в вариантах, давшихся на химическом факультете) является по сути своей арифметической и допускает решения, основанное на самых простых рассудениях.

За одно и то же время (до второй встречи) величина простой $2/5$, а автоматическая $7/5$ всегда пути. Значит, относение их скоростей равно 2:7. Тогда к моменту первого встречи величина простой $2/9$, а автоматическая $7/9$ всегда пути. Но, затратив еще два часа, величина простая $2/5$ всегда пути. Следовательно, за час он проезжает $\left( \frac{2}{5} - \frac{2}{9} \right): 2 = \frac{4}{45}$ часа всего пути. $7/9$ пути, которые еще предстояло проехать величина простой величина простой величина простой $x > 0$. Только четвертая часть всех решших смогла правильно выписать решение неравенства $\sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ при дополни-

59

5. Пусть $CAC_1 = 2\alpha$ (рис. 3). Согласно условиям $tg2\alpha = \frac{4}{3}$. По скольку $AN$ — биссектриса угла $CAC_1$, по известным тригонометрическим формулам легко найти, что $(\Rightarrow NAC = \alpha)$

$$\sin \alpha = \frac{1}{V_5}, \cos \alpha = \frac{2}{V_5}.$$

Обозначим $\Rightarrow ACB$ в треугольнике $CAB$ через $\beta$. Теперь легко записать объем данной призмы следующего образом:

$$V = \frac{1}{2}AC \cdot CB \sin \beta \cdot AA_1 = 24CB \sin \beta.$$

Плоскость, проходящая через точки $A, M$ и $N$, отсекает от призмы парамиду $ABCNM$, у которой боковая грань $ACB$ перепendикулярна основанию, так как призма $ABCA_1B_1C_1$ пряма (по условияю). Основание $BCNM$ представляет собой трапецию, плоскку стороны $CN$ и $BM$ параллельны. Из равенств

$$BM = \frac{BB_1}{2} = 4, CN = AC \cdot tg\alpha = 3$$

находим: $S_{BCNM} = \frac{7}{2}BC$ (BC перепendикулярна $CN$ и $BM$ и является высотой трапеции). Объем парамиды $ABCNM$, поэтому равен

$$V = \frac{1}{3}S_{BCNM} \cdot AC \sin \beta = 7CB \sin \beta.$$

Объем другой части, отсекаемой плоскостью от призмы, есть разность объемов призмы и парамиды: $V_2 = V - V_1$. Отсюда

$$V_1 : V_2 = V_1 : (V - V_1) = 7 : 17.$$

В этой задаче не попадобилось нахождение численные значения объемов интересующих нас частей призмы, плоскку требовалось лишь их отношение. Для получения ответа достаточно было их выразить через один и те же, хотя и неизвестные нам, величины $BC$ и $\beta$. Однако именно это обстоятельство не было понято частью поступающих, которые упорно пытаются.

Рис. 3. $AC = 6, AA_1 = 8, BM = MB_1$.

лись найти численные значения нужных объемов и, конечно, не добавись успеха (сравните с ситуацией в первой задаче, где тоже достаточно было для получения ответа найти относение неизвестных).

Попробуйте решить сами следующее варнант.

1. Два трактора вспахивают поле, разделенное на две равные части. Оба трактора начали одновременно, и каждый вспахивает свою половину. Через 5 часов после того момента, когда они совместно вспахали половину всего поля, выяснили, что первому трактору осталось вспахать $1/10$ часть своего участка, а второму — $4/10$ своего участка. Сколько времени понадобится второму трактору, чтобы одному вспахать все поле?
2. Решить уравнение

$$3^2 \sqrt{x^2 + 3x} + 1 + 9 = 28 \cdot 3 \sqrt{x^2 + 3x}.$$

3. Найти все значения $x$, лежащие в промежутке $-1 < x < 5$ и удовлетворяющие неравенству $\log_0.5 \sin x \geq \log_3(\frac{\pi}{3})$.

4. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, а радиус круга, описанного вокруг этого треугольника, равен $2\sqrt{3}$. На стороне $AB$ взята точка $D$ так, что $AD = 2DB$, и при этом $CD = 2\sqrt{2}$. Найти площадь треугольника $ABC$.

5. Дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ ($AA_1, BB_1$ и $CC_1$ — боковые ребра). Плоскость пересекает ребра $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ соответствующего в точках $M, N, P$. Найти, в каком отношении делит эта плоскость объем призмы, если известно, что $B_1M : A_1B_1 = 1:2, B_1N : B_1C_1 = 2:3$ и $BP : CB = 1:3$.