Задачи М86—М90; Ф98—Ф102

33

ЗАДАЧИ

М86. Дно прямотольной коробки было выложено плитками размера $2 \times 2$ и $1 \times 4$. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку $2 \times 2$. Вместо нее удалось достать плитку $1 \times 4$. Докажите, что теперь выложить до коробки плитками не удается.

Л. Г. Лиманов

М87. Докажите, что если три окружности одинакового радиуса проходят через одну точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса (рис. 1).

М88. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты $a, b, c$ уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

М. Ф. Безбородников

М89. Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме па-

Рис. 1.

раплелограмма, можно выбрать такие три стороны, при продолжении

Рис. 2.

которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. (Например, на рисунке 2, где многоугольник обведен черной линией, три красные прямые удовлетворяют требуемому условияю, а три сине — нет.)

И. М. Яелом

М90. Докажите, что если $x_1 < x_2 < x_3 < \dots$ — натуральные числа,

$$\frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2} + \frac{\sqrt{x_3-x_2}}{x_3} + \dots$$

$$\dots + \frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n} < 1$$

$$+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n^2-1} + \frac{1}{n^2}$$

Г. И. Натансон