Письменный экзамен по физике в МФТИ в 1970 году

60

Писменный экзамен
по физике в МФТИ в 1970 году

В. Е. Белонучкин, С. М. Козел

Писменный вступительный экзамен по физике проводится далее не во всехузах. Однако задачи, предлагавшие на письменной работе, интересны и тем, кто собирается сделать только устный экзамен. Здесь мы разберем задачи одного из вариантов письменной работы по физике на вступительный экзамен в Московском физico-техническом институте.

Вилет № 6

1. Частца массы $m$, движущаяся со скоростью $v$, налетает на покоящую часть массы $\frac{m}{2}$ и после урругого удара отскакивает под углом $\alpha = 30^\circ$ к направлению своего пероначального движения. С какой скоростью начинает двигаться вторая часть?

2. В стандартном баллоне содержится 0,2 $e$ водорода и 3,2 $e$ кислорода при температуре 27°С. Водород содержится с кислородом, и после того, как реакция закончилась, давление внутри баллона увеличилось в три раза. Какова будет при этом температура внутри баллона?

3. Присоединение к волтметру некоторого добавочного сопротивления увеличивает предельное изменение напряжения в $n$ раз. Другое добавное сопротивление увеличивает предельное изменение в $m$ раз. Во сколько раз увеличится предельное изменение волтметром напряжение, если включить последовательное с волтметром эти два сопротивления, соединенные между собой паралельно?

4. Астрономическая камера для фотографирования Солнца имеет объектив с фокусным расстоянием $F = 10$ м. Переед объективом расположена круглая диаметра $d = 5$ см. Применяемая фотопленка имеет чувствительность $W = 10$ мокс·сек. Каким должно быть при этих условиях время экпозициции т? Известно, что прямые солнечные лучи создают на перpendикулярной к ним плоскке освещенности $E = 4 \cdot 10^4$ мокс. Угловой диаметр Солнца $\alpha$ принять равным 0,01 рад.

Рассмотрим решение этих задач.

1. При урругом ударе сохраняется количество движения и кинетическая энергия соударяющихся тел. Однако нельзя законсохраняться количество движения в скалярном виде:

$$mv = \frac{m}{2} v_1 + mv_2.$$

Такая запись верна, если обе частицы после ударя движутся по той же прямой, по которой движалась до удара налетающая часть, то есть при центральном ударе. В нашем случае, как видно из условия задачи, удар был нецентральным. Следовательно, надо учитывать, что количество движения — величина векторная и складавается по правым сложения векторов (рис. 1).

Воспользовавшись теоремой косинусов, можно записать закон сохраняющей количество движения в виде

$$\left( \frac{m}{2} v_1 \right)^2 = (mv)^2 + (mv_2)^2 - 2(mv_2)(mv) \frac{\sqrt{3}}{2},$$

где через $v_1$ обозначена скорость частицы с массой $\frac{m}{2}$, а через $v_2$ — скорость частицы с массой $m$. Кроме того,

61

использовем закон сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{4}.$$

Исключая из этих уравнений $v_2$, найдем

$$v_1 = \frac{2}{\sqrt{3}} v.$$

Векторный характер количества движения можно учесть и инчае. Введем взаимно перпендикулярные оси координат $x$ и $y$.

Для проекций количества движения на такие оси выполняются скалярные соотношения

$$mv_{2y} + \frac{m}{2} v_{1y} = 0,$$

$$mv_{2x} + \frac{m}{2} v_{1x} = mv.$$

Закон сохранения энергии примет вид

$$\frac{mv^2}{2} = m \frac{v_{2y}^2 + v_{2x}^2}{2} + \frac{m}{2} \frac{v_{1x}^2 + v_{1y}^2}{2}.$$

Решив эту систему и учтя очередное соотношение $v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2}$, получим тот же ответ.

2. Многие поступавшие считали, что слова «реакция закончилась» означают, что в баллоне образовались 3,4 $z$ воды. Однако из условия задачи следует, что в баллоне имеется избыток кислорода, так как для образования 1 $z$-моля воды необходимы 1 $z$-моль водорода и только $1/2$ $z$-моля кислорода. Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы

Рис. 1.

Обозначим сопротивление волтметра $r$, максимальное напряжение на волтметре $U_0$ и ток, текущий через волтметр при этом напряжения, $I_0$ (рис. 2). При использовании добавочного сопротивления $R_g$ изменяемое напряжение $U_s$ распределяется между $r$ и $R_g$ пропорционально их величины. Напряжение на волтметре $U$, конечно, по-прежнему не должно превышать $U_0$, а изменяемое напряжение $U_s$ может быть и больше $U_0$. Ток

62

Через волтметр и $R_g$ при этом не будет превышать $I_0$.

Исходя из этих сообжений, для трех слугаев, описанных в задаче, имеем:

$$I_0 (R_1 + r) = n U_0,$$
$$I_0 (R_2 + r) = m U_0,$$
$$I_0 \left( \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + r \right) = k U_0.$$

Здесь $R_1$ и $R_2$ — добавочные сопротивления, а $k$ — искомая величина. Учитывая, что $I_0 r = U_0$, эти уравнения можно преобразовать к виду:

$$R_1 + r = n r,$$
$$R_2 + r = m r,$$
$$\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + r = k r.$$

Из первых двух уравнений выразим $R_1$ и $R_2$. Подставляя их в третье, получим

$$k = \frac{mn - 1}{m + n - 2}.$$

4. Диаметр изображения Солнца на фотопленке равен $D = \alpha F$. Освешенное изображения можно найти,

Fig. 2.

Fig. 3.

принаяв во внимание, что вся световая энергия, пропикающая через объектив, распределяется по площади изображения (потерями света мы пренебрегаем):

$$E_{\text{изозокр}} D^2 = Ed^2,$$

или

$$E_{\text{изозокр}} = E \frac{d^2}{\alpha^2 F^2} = 10^4 \text{ люкс.}$$

Время экспозицини найдет из условия: $E_{\text{изозокр}} \tau = W$.

Отсюда

$$\tau = \frac{W}{E_{\text{изозокр}}} = 10^{-3} \text{ сек.}$$

Предлагаем вам решить самостоятельное следующее варнант.

1. Водометный катер забирает забортную воду и выбрасывает ее на задо с скоростью $V$ относительно катара. При этом он движется со скоростью $v$. К катару на длином трое прицелили буксируемое судно, сила сопротивления которого при одинаковой скорости движения равна сопротивлению катара. Определить скорость буксира, если известно, что силы сопротивления катара и буксируемого судна изменяются пропорционально их скоростям.

2. Баллон с гелем при давлении геля в 65 am при температуре $-3^\circ\text{C}$ весит 21 ке, а при давлении в 20 am при той же температуре весит 20 ке. Сколько геля содержал баллон при начальном давлении 150 am и температуре $27^\circ\text{C}$?

3. Какое теплло выделится в цепи (см. рис. 3) при переключении ключа $K$ из положения 1 в положение 2?

4. На спутнике, летящем по круговой орбите на высоте $H = 100\text{ км}$, расположен фотоаппарат, объектив которого имеет фокусное расстояние $F = 10\text{ см}$. Фотографиируется поверхность Земли под спутником. Разрешаюшая способность пленки (то есть минимальный размер видимых деталей изображения, определяемый зернистой структурой фотоэмульси) $d = 10^{-2}\text{ мм}$. Каков минимальный размер фотографических предметов? Какую следует выбирать выдержку (время экспозицини $\tau$), чтобы орбитальное движение спутника не влило на качество изображения?