Nghịch lý của chuyển động phản lực

11

Những nghịch lý của chuyển động phản lực
M.S. Livshits

Công suất của chuyển động tên lửa

Khi động cơ phản lực hoạt động, năng lượng hóa học của nhiên liệu được chuyển hóa thành động năng với một hiệu suất xác định: một phần năng lượng hóa học này được dùng cho các tổn thất nhiệt khác nhau (làm nóng thành buồng động cơ, nhiệt bị các khí phụt ra mang đi, v.v.). Tỉ số giữa động năng thu được và năng lượng hóa học của nhiên liệu đã cháy được gọi là hiệu suất bên trong (hay hiệu suất hữu hiệu) $\eta_{\alpha\phi}$. Rõ ràng nó có cỡ $0,3 \div 0,5$.

Đến đây ta cố ý chưa làm rõ — động năng của cái gì?

Xét hệ tọa độ gắn với tên lửa. Trong khoảng thời gian rất nhỏ $\Delta t$ một khối lượng khí $\Delta m$ sẽ bị phụt ra từ vòi phun của tên lửa. Nếu $\Delta t$ đủ nhỏ, thì vận tốc của tên lửa thực tế không thay đổi và có thể coi hệ tọa độ gắn với nó là quán tính. Trong hệ tọa độ này tên lửa đứng yên, do đó năng lượng hóa học của nhiên liệu chuyển thành động năng của các khí.

Gọi $u$ là vận tốc tương đối của khí thoát ra từ vòi phun tên lửa; khi đó động năng của khối lượng khí $\Delta m$ bay ra từ vòi phun tên lửa là

$$E_{\Delta m} = \frac{\Delta mu^2}{2}.$$

12

Vì công suất bằng công thực hiện trong một đơn vị thời gian, nên ta sẽ nhận được biểu thức công suất nếu thay đại lượng khối lượng khí bị phụt ra bằng lưu lượng khối lượng trong một giây μ.

Do đó, công suất của động cơ là

$$P_{\text{đc}} = \frac{\mu u^2}{2}.$$

Cũng có thể thu được biểu thức này bằng cách khác, khi xét chuyển động của tên lửa và các khí trong hệ tọa độ chuyển động. Khi đó động năng $E$ thu được trong thời gian động cơ tên lửa hoạt động được dùng để làm thay đổi động năng của các khí bị phụt ra $\Delta E_{\text{khí}}$ và thay đổi động năng của tên lửa:

$$\Delta E = \Delta E_{\text{khí}} + \Delta E_{\text{tên lửa}}.$$

Ta hãy tìm riêng từng số hạng của tổng này.

1. Giả sử vận tốc của tên lửa trước khi phụt khối lượng nhiên liệu $\Delta m$ bằng $v$. Khi đó

$$\Delta E_{\text{khí}} = \frac{\Delta m (u - v)^2}{2} - \frac{\Delta m v^2}{2},$$

trong đó $\frac{\Delta m v^2}{2}$ — động năng mà khối lượng khí bị phụt ra có trước khi thoát ra (khi nó ở trong tên lửa và chuyển động cùng tên lửa với vận tốc $v$), $\frac{\Delta m (u - v)^2}{2}$ — động năng mà khối lượng khí bị phụt ra có sau khi thoát ra khỏi vòi phun của tên lửa với vận tốc tương đối $u$ (vì trong hệ tọa độ đứng yên vận tốc của nó sẽ là $u - v$).

2. Bây giờ xét hạng thứ hai — $\Delta E_{\text{ракеты}}$. Vì trong thời gian $\Delta t$ một khối lượng khí $\Delta m$ bị phun ra khỏi vòi phun, mang theo động lượng $\Delta mu$, nên theo định luật II Newton, một lực tác dụng lên khối lượng khí này là

$$F = \frac{\Delta mu}{\Delta t} = \mu u.$$

Theo định luật III Newton, một lực có cùng độ lớn nhưng hướng ngược lại tác dụng lên tên lửa — đó chính là lực đẩy của động cơ. Nếu trong thời gian $\Delta t$ tên lửa đi được quãng đường $\Delta S$, thì lực đẩy của động cơ đã thực hiện chuyển động được thực hiện từ bên ngoài với hệ tọa độ gắn với tên lửa.

Vậy, công suất của động cơ tên lửa $P_{\text{дв}} = \frac{\mu u^2}{2}$ và khi động cơ làm việc ổn định thì không đổi. Hãy ghi nhớ điều này.

Công suất cơ học có ích của động cơ (công suất do lực đẩy phát triển)

Nhiệm vụ chính của động cơ là tăng động năng của tên lửa. Ta đã thấy rằng lực đẩy bằng $F_{\tau} = \mu u$, còn độ biến thiên động năng của tên lửa trong thời gian $\Delta t$ bằng $\Delta E_{\text{ракеты}} = \mu u \cdot \Delta S$. Vì vậy công suất có ích của lực đẩy động cơ bằng

$$W_{\pi} = \frac{\Delta E_{\text{ракеты}}}{\Delta t} = \mu u \frac{\Delta S}{\Delta t} = \mu u v.$$

Khi động cơ làm việc ổn định, tức là khi lưu lượng khối lượng mỗi giây không đổi và vận tốc thoát của khí không đổi, công suất có ích của động cơ tăng tỉ lệ với vận tốc tên lửa.

Thoạt nhìn, kết luận này có vẻ nghịch lý. Thật vậy, vì công thức mà ta đã nhận được đúng với mọi vận tốc của tên lửa, nên nó sẽ đúng cả ở vận tốc tên lửa mà tại đó giá trị công suất có ích trở nên lớn hơn công suất do động cơ tên lửa phát triển nhờ năng lượng của nhiên liệu!

13

Từ việc so sánh các biểu thức của công suất động cơ và công suất có ích thấy rằng khi $v = \frac{u}{2}$ công suất có ích trở nên bằng công suất của động cơ tên lửa. Do đó, khi vận tốc tên lửa tiếp tục tăng, nó sẽ lớn hơn công suất của động cơ. Đó là ranh giới định lượng nơi nghịch lý đã nêu xuất hiện.

Để làm rõ nghịch lý này, ta sẽ phải xét hiệu suất ngoài (hiệu suất bay) là gì. Đồng thời, ta sẽ làm rõ vì sao động cơ tên lửa nên được đặc trưng không phải bằng công suất, như vẫn làm đối với các động cơ khác, mà bằng lực đẩy do nó phát triển.

Hiệu suất ngoài không thể đặc trưng đầy đủ hiệu quả của động cơ tên lửa, vì trong trường hợp tổng quát, như ta đã thấy ở trên, năng lượng nhiên liệu được phân chia giữa tên lửa và các khí bị phóng ra. Vì vậy trong lý thuyết còn đưa vào cái gọi là hiệu suất ngoài (hay hiệu suất bay), và trong tài liệu có thể gặp hai định nghĩa khác nhau cùng các biểu thức tương ứng cho hiệu suất ngoài. Mỗi định nghĩa hiệu suất này đặc trưng cơ học của chuyến bay tên lửa từ những quan điểm năng lượng khác nhau. Ta hãy xét các định nghĩa này, đồng thời chỉ ra cơ sở lôgic của chúng.

Định nghĩa thứ nhất của hiệu suất ngoài

Chuyến bay với động cơ đang hoạt động là chuyến bay của một vật có khối lượng biến đổi. Vì vậy, ngoài công suất của động cơ tên lửa, cân bằng năng lượng

còn phải tính đến sự trao đổi năng lượng giữa tên lửa và các khí rời khỏi nó, tức là toàn bộ công suất mà ta có. Năng lượng của tên lửa có thể thay đổi cả do năng lượng hóa học của nhiên liệu (công của lực đẩy), lẫn do năng lượng mà khối khí có trước khi thoát ra khỏi tên lửa. Năng lượng đó cũng có thể truyền cho tên lửa.

Vậy, hiệu suất ngoài (hiệu suất bay) có thể được xác định là tỉ số giữa công của lực đẩy với tổng năng lượng cơ học xuất hiện do sự cháy của nhiên liệu và năng lượng mà khối khí có trước khi thoát ra khỏi tên lửa. Tỉ số này có thể thay bằng tỉ số các công suất tương ứng (kết quả không thay đổi).

$$\eta' = \frac{\mu u v}{\mu^2 / 2 + \mu v^2 / 2} = 2 \frac{v}{u} / 1 + \frac{v^2}{u^2}.$$

Đặt tỉ số $\frac{v}{u} = R$, ta nhận được biểu thức cuối cùng

$$\eta' = \frac{2R}{1 + R^2}.$$

Bây giờ ta khảo sát công thức. Giá trị $\eta'$ lớn nhất khi $\frac{1}{\eta'}$ nhỏ nhất, tức là khi biểu thức $\frac{1 + R^2}{R} = \frac{1}{R} + R$ nhỏ nhất. Nhưng $\frac{1}{R} + R \geq 2 \sqrt{\frac{1}{R} \cdot R}$ (trung bình cộng của hai số $a$ và $b$ lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, nếu $a = b$). Vậy $\frac{1}{R} + R$ nhỏ nhất khi $\frac{1}{R} = R$ (hay tương đương, khi $\frac{1}{R} + R = 2$). Điều đó có nghĩa là $\eta'$ đạt cực đại khi $R = 1$ và khi đó $\eta' = 1$.

Về mặt vật lý điều đó hoàn toàn rõ ràng: khi $v = u$ khối lượng khí thoát ra có động năng bằng không, tức là hoàn toàn truyền

14

động năng mà trước đó nó có cho tên lửa.

Đồ thị của $\eta'$ có dạng như trên hình 1.

Sự giảm hiệu suất bay khi $v > u$ được giải thích bởi việc năng lượng do luồng khí mang đi lại xuất hiện và bắt đầu tăng lên.

Định nghĩa thứ hai của hiệu suất ngoài.

Theo định nghĩa thứ hai về hiệu suất ngoài, người ta tiếp cận nó theo cách sau.

Nguồn duy nhất làm tăng động năng của hệ “tên lửa + các khí bị phụt ra” là công của động cơ tên lửa, tức là năng lượng nhận được do sự chuyển hóa năng lượng hóa học của nhiên liệu thành cơ năng của nhiên liệu và tên lửa. Còn công có ích là công dùng để làm tăng động năng của chính tên lửa.

Khi đó hiệu suất ngoài được xác định là tỉ số giữa công có ích và toàn bộ cơ năng nhận được trong động cơ tên lửa từ năng lượng hóa học của nhiên liệu.

Hãy xác định độ lớn của công có ích theo cách hiểu ở đây.

Lực đẩy thực hiện công lên tên lửa, làm tăng động năng của tên lửa. Nhưng mặt khác, khối lượng khí rời khỏi tên lửa làm giảm động năng của tên lửa đi một lượng mà khối lượng khí ấy đã có (có, có thể nói, phần đóng góp riêng vào tổng năng lượng của tên lửa) trước khi phụt ra. Như vậy, công suất có ích bằng $\mu uv - \frac{\mu v^2}{2}$.

Do đó, theo định nghĩa thứ hai

$$\eta'' = \frac{\mu uv - \frac{\mu v^2}{2}}{\mu u^2} = 2R - R^2$$

Hãy vẽ đồ thị phụ thuộc của $\eta'' = 2R - R^2 = R (2 - R)$ theo $R$. Đó là một parabol, cắt trục $R$ tại các điểm $R = 0$ và $R = 2$, có cực đại tại $R = 1$ (hình 2). Nghĩa là cực đại của $\eta''$ đạt được cùng lúc với cực đại của $\eta'$, — tại $R = 1$ (khi đó toàn bộ cơ năng của động cơ tên lửa được dùng để làm tăng động năng của tên lửa chuyển động về phía trước, hoặc khối lượng khí bị phụt ra có vận tốc bằng không và không mang theo năng lượng nào). Từ đồ thị thấy rằng khi $R > 2 (v > 2u) \eta'' < 0$.

Chính ở đây, khi xét định nghĩa thứ hai về hiệu suất của động cơ tên lửa, một đặc điểm quan trọng khác của vật lý động cơ tên lửa cũng được bộc lộ: xét từ góc độ sự thay đổi động năng

15

của tên lửa đang chuyển động, sau khi đạt vận tốc bay $v=2u$, hiệu suất trở thành âm! Lại thêm một nghịch lí…

Vậy lời giải cho các nghịch lí đã nêu là gì?

1. «Nghịch lý» thứ nhất, tức là việc công suất do lực đẩy phát triển tăng liên tục khi vận tốc tên lửa tăng và tại $v > \frac{u}{2}$ trở nên lớn hơn công suất chuyển động của tên lửa, được giải thích, như thấy từ định nghĩa thứ nhất của hiệu suất ngoài, bởi sự có mặt của phần trao đổi mà công suất của nó đang được xét. Nó cũng tăng khi vận tốc tên lửa tăng. Như vậy, khi vận tốc tên lửa tăng, các khí rời tên lửa trở nên, có thể nói, ngày càng «giàu» hơn và truyền cho tên lửa một lượng ngày càng lớn (tuyệt đối, chứ không phải tương đối) của năng lượng $\frac{\mu v^2}{2}$ mà chúng có trước khi chảy ra khỏi tên lửa. Các khí bay ra từ vòi phun của tên lửa truyền cho tên lửa phần năng lượng đã được tích trữ từ trước. Chính điều đó dẫn đến việc công suất do lực đẩy phát triển tăng liên tục và tại $v > \frac{u}{2}$ trở nên lớn hơn lượng nhận được nhờ năng lượng hóa học của nhiên liệu.

2. «Nghịch lý» thứ hai cũng được giải thích khá đơn giản. Khi vận tốc tên lửa trở nên lớn hơn hai lần vận tốc chảy ra của khí ($v > 2u$), năng lượng do khí mang đi tăng đến mức dòng khí chảy ra không chỉ mang đi toàn bộ năng lượng được tạo ra tại thời điểm ấy bởi chuyển động của tên lửa, mà còn một phần năng lượng mà hệ «tên lửa — khí» đã có trước thời điểm đó (được tích lũy trong «lịch sử» bay trước đó). Hoặc, nếu tiếp cận ý nghĩa vật lý của «nghịch lý» này theo một cách hơi khác: sự giảm động năng của tên lửa do khối lượng của nó giảm (do «gầy đi») lớn hơn sự giảm động năng do vận tốc tên lửa giảm. Vậy nên, động cơ tên lửa nên được đặc trưng bằng lực đẩy của nó. Điều này khác hẳn tình huống quen thuộc, chẳng hạn, đối với ô-tô-

16

của động cơ ô tô hoặc máy bay, dùng để bảo đảm chuyển động trong môi trường có lực cản.

Trong trường hợp sau, chính công suất của động cơ là đặc trưng quan trọng nhất của nó, vì động cơ càng mạnh thì nó càng có thể duy trì tốc độ chuyển động lớn hơn của vật thể đã cho, bảo đảm sự phù hợp với lực cản ngày càng tăng của môi trường, tức là bù đắp tổn thất năng lượng để thắng lực cản của môi trường.

Trong quá trình tên lửa bay với động cơ đang hoạt động, động năng tương đối (động năng trên một đơn vị khối lượng) của phần tên lửa còn lại liên tục tăng cùng với tốc độ (hiệu quả của quá trình này được đặc trưng bởi hiệu suất bay theo định nghĩa thứ nhất), mặc dù động năng của tên lửa với lượng nhiên liệu mới (còn lại) ở tốc độ $v > 2u$ nhỏ hơn động năng của tên lửa có nhiên liệu trước khi khối khí bị phun ra rời khỏi tên lửa.