Bài toán M91—M95; V103—V107

⟦trang 22⟧

BÀI TOÁN

M91. Hai người chơi «dấu thập» và «dấu tròn» trên một tờ giấy kẻ ô vô hạn. Người đi trước đặt một dấu thập vào một ô bất kỳ. Mỗi lượt tiếp theo, người đó phải đặt một dấu thập vào một ô trống bất kỳ kề với một ô; hai ô được coi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh hoặc một đỉnh. Ở mỗi lượt của mình, người chơi thứ hai có thể đặt ngay ba dấu tròn vào ba ô trống bất kỳ (không nhất thiết gần nhau). Chứng minh rằng, dù người thứ nhất chơi thế nào, người thứ hai cũng có thể «vây chặt» người đó: làm cho người thứ nhất không còn chỗ nào để đặt dấu thập.

Hãy nghiên cứu các trò chơi tương tự, trong đó người thứ hai được phép đặt trong một lượt không phải ba mà chỉ hai hoặc chỉ một dấu tròn. Khi các đối thủ chơi đúng, kết quả ở đây sẽ là gì: các dấu tròn có thể «bao vây-

Hình 1. Ở đây vẽ một trong các vị trí có thể xuất hiện sau nước đi thứ ba (màu đen là các dấu thập và dấu tròn được đặt ở nước đi thứ nhất, màu đỏ — ở nước đi thứ hai, màu xanh lam — ở nước đi thứ ba).

chặt» các dấu thập (và các dấu thập có thể «cầm cự» nhiều nhất bao nhiêu nước đi) hay trò chơi có thể tiếp tục vô hạn?

Hãy thử nghiên cứu các biến thể khác của trò chơi này: khi chỉ những ô có chung cạnh với ô đã cho mới được coi là kề; khi mặt phẳng không được chia thành các hình vuông mà thành các lục giác đều; khi người thứ nhất được phép đặt ngay p dấu thập, còn người thứ hai — q dấu tròn.

A. P. Savin

M92. Petya dự định trải qua cả 90 ngày nghỉ ở làng và nghiêm ngặt tuân theo thời gian biểu sau: cứ hai ngày một lần (nghĩa là cách một ngày) đi tắm ở hồ, cứ ba ngày một lần đi cửa hàng mua thực phẩm và cứ năm ngày một lần giải các bài toán toán học. (Ngày đầu tiên Petya đã làm cả việc này, việc kia và việc thứ ba nên rất mệt.) Petya sẽ có bao nhiêu ngày «dễ chịu», khi cần đi tắm nhưng không cần đi cửa hàng và giải bài toán? Bao nhiêu ngày «buồn chán», khi hoàn toàn không có việc gì?

M93. Mỗi số trong các số $x_1, \dots, x_n$ bằng cộng một hoặc trừ một. Biết rằng

$$x_1x_2+x_2x_3+\dots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0.$$

Chứng minh rằng $n$ chia hết cho bốn.

A. M. Leontovich

M94. Chứng minh rằng không tồn tại một đa diện mà tại mỗi đỉnh và mỗi mặt có ít nhất bốn cạnh kề với nó.

L. G. Limanov