Задачи М91—М95; Ф103—Ф107

22

ЗАДАЧИ

М91. Двое играют в «крестики» и «ноликки» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждый следующий своим ходом он должен ставить крестик в любую свободную клетку, соседнюю с одной клеткой считается любая, имеющая с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три поликка в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом). Докажите, что, как бы ни играл первый, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому больше некуда было поставить крестик.

Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешается за один ход ставить не три, а только два или только один поликк. Каков здесь будет результат при правильной игре партнеров: удасся ли поликам «за-

Рис. 1. Здесть изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода (черным цветом выделены крестики и поликки, поставленные на первом ходу, красным — на втором, голубым — на третьем).

переть» крестики (и какое наиболее число ходов могут «продержаться» крестики) или игра может продолжаться до бесконечности?

Попробуйте изучить другие варианты этой игры: когда соседним с данной считаются только клетки, имеющие с ней общую сторону; когда плоскость разбита не на квадраты, а на правильные шестиугольники; когда первому разрешается ставить сразу рұ крестиков, а второму — q поликков.

А. П. Савин

М92. Петя собирается все 90 дней каникул проводится в деревне и при этом строго придерживается такого распорядка: каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами и каждый пятый день решать задачи по математике. (В первый день Петя продельвал и то, и другое, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети «приятных» дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ездить в магазин и решать задачи? Сколько «скучных», когда совсем не будет никаких дел?

М93. Каждое из чисел $x_1, \dots, x_n$ равно плоскости или минус единице. Известно, что

$$x_1x_2+x_2x_3+\dots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0.$$

Докажите, что $n$ делится на четые.

А. М. Леонтови

М94. Докажите, что не существует многогранника, у которого к каждой вершине и к каждой грани примыает не менее чем по четыре ребра.

Л. Г. Лиманов