Вступительные экзамены по математике в Московском текстильном институте в 1970 году

45

Вступительные экзамены в МТИ проводятся в полном соответствии с программой по математике для поступающих вузы. Как и во всех техническихузах, математика является профессиональным предметом при поступлении в МТИ.

На факультетах энерго-механическом и технического машиностроения абитриенты сделают два экзамена по математике: письменный и устный. На механико-технологическом, химко-технологическом и инженерно-экономических факультетах проводятся один экзамен по математике — устный. На всех факультетах медалисты сделают экзамен по математике.

Разберем один из вариантов, предлагавшийся на письменном экзамене.

Вариант

1. Решить уравнение
   $$\text{ctg} x - 1 = \frac{\cos 2x}{\text{tg} x + 1}.$$

2. Решить уравнение
   $$\log_5^4 (x - 1)^2 + \log_5^2 (x - 1)^3 = 25.$$

3. Упростить при $0 < a \leq 1$:
   $$\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ 4 (a + 1) + \left( \sqrt[3]{a \sqrt{a}} - 1 \right)^2 - \left( \frac{\sqrt[6]{ab^2} + \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)^3 \right]^{\frac{1}{2}}.$$

4. В основании примеры лежит прямогольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$, боковые ребра примеры наклонены к плоскости основания под углом $\phi$. Найти объем примеры.

Разбор задач варната

1. Находим ОДЗ уравнения $x \neq \frac{\pi}{2} l, x \neq \frac{\pi}{4} (4m - 1) (l, m = 0, \pm 1, \dots)$. Теперь преобразуем левую часть: $(\text{ctg} x - 1) (\text{tg} x + 1) = \cos 2x,$
   $$\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \cos 2x,$$
   $$\cos 2x = \frac{1}{2} \cos 2x \sin 2x,$$
   $$\cos 2x \left( 1 - \frac{1}{2} \sin 2x \right) = 0.$$ (*)

Так как второй сомножитель в (*) отличен от нуля ($\sin 2x \neq 2$), то $\cos 2x = 0$ и
$$x = \frac{\pi}{4} (2k + 1) \quad (k = 0, \pm 1, \dots).$$

Учитывая ОДЗ, исключаем значение $x$, которые получаются при нечетных $k$.

Ответ:
$$x = \frac{\pi}{4} (4n + 1) \quad (n = 0, \pm 1, \dots).$$

Решение этого примера не вызвало особых затруднений, однако много полезили лишние корни, так как не учитывали ОДЗ.

2. ОДЗ уравнения таково: $x > 1$. Преобразуем левую часть, используя свойство логарифмов:
   $$16 \log_5^4 (x - 1) + 9 \log_5^2 (x - 1) = 25.$$

Решая полученное биквадратное урав-

46

нечне, которое равносильно заданному, находим

$$\log_5^2 (x-1) = 1 \text{ или } \log_5^2 (x-1) = -\frac{25}{16}.$$

Последнее равенство невозможно, остается $\log_5 (x-1) = \pm 1$, откуда $x_1 = 6, x_2 = \frac{6}{5}$.

Типичная ошибка: многое абитуренты забывали возводить в соответствииую степень показатели 2 и 3 при вынесении их за знак логарифма.

3. Сначала находим допустимые значения $a$ и $b$: $a \neq -b$. Преобразуем исходное выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ 4 (a+1) + (\sqrt{a}-1)^2 - \left( \frac{\sqrt[6]{a} (\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a})}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} + \sqrt[6]{a} \right)^3 \right]^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ 4 (a+1) + a - 2 \sqrt{a} + 1 - (2 \sqrt[6]{a})^3 \right]^{\frac{1}{2}} = \left| \sqrt{a}-1 \right| = 1-\sqrt{a}.$$

При решении этого примера абитуренты не всегда обращали внимание на условие $0 < a \leq 1$ и поэтому допускали ошибку при извлечении квадратного корня.

4. Высота примеры (см. рисунок) пройдет через центр $O$ круга, описанного около основания, так как боко-

46

47

Это неравенство равносильно системе неравенств
$$\begin{cases} x^2 - 6 > 0, \\ 0 < \log_3(x^2 - 6) < 1 \end{cases}$$

или
$$\begin{cases} x^2 - 6 > 0, \\ 1 < x^2 - 6 < 3. \end{cases}$$

Второе неравенство включает в себя первое, из него и находим $7 < x^2 < 9$, $\sqrt{7} < |x| < 3$.

Ответ:
$$\sqrt{7} < x < 3$$ или $-3 < x < -\sqrt{7}$.

В этой задаче многое абитуренты не учитывали, что основание внешнего логарифма меньше 1, а некоторые забили про знак модуля и потеряли вторую часть ответа.

В заключение приведим один вариант варианта иустных экзаменов для самостоятельного решения.

Вариант

Решить уравнения:

1. $$\cos \frac{x}{2} \cos \frac{3}{2}x - \sin x \sin 3x - \sin 2x \sin 3x = 0.$$
2. $$2\lg 2 + \left(1 + \frac{1}{2x}\right)\lg 3 - \lg \left(\frac{x}{\sqrt{3}} + 27\right) = 0.$$
3. Упростить:
   $$\frac{a + x}{\sqrt{a^2} - \sqrt{x^2}} + \frac{\sqrt[3]{ax^2} - \sqrt[3]{a^2}x}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ax} + \sqrt[3]{x^2}} - \sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{x}.$$
4. Сторона основания правильной треугольной прямиды равна $a$, боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $\phi$. Найти объем прямиды.

Отделные задачи

Rешить уравнения:
5. $$\sin^4 x + \sin^4 \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin 2x.$$

6. $$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3x - \frac{1}{2} \cos 3x = \cos 7x.$$
7. $$\tg x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = 2.$$
8. Преобразовать в произведение:
   $$\sec^2 \alpha - \tg^2 \alpha + \mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) + \mathrm{ctg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right).$$
9. Дано: $\tg \alpha = \frac{4}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{3}{2}$ π.

Найти $\tg \frac{\alpha}{2}$.

Решить уравнения:
10. $$\sqrt[3]{64} - \sqrt[3]{2^{3x+3}} + 12 = 0.$$
11. $$10^{\lg^3 x} + x^{\lg x} = 20.$$
12. $$\lg^2 10x + \lg x = 19.$$
13. $$4^{\log_3 x} + x^2 = 8.$$
14. $$\log_3 (3^x - 1) \log_3 (3^{x+1} - 3) = 6.$$
Решить неравенства:
15. $$\frac{0,2^{x-0,5}}{\sqrt{5}} > 5 \cdot 0,04^{x-1}.$$
16. $$0,8^{\frac{3-x}{1-x}} < \frac{16}{25}.$$
17. $$\lg x^2 < \lg^2 x.$$
18. $(x^2 - 4) \log_{0,5} x > 0.$
19. $$\log_{0,5} (2x + 6) > \log_{0,5} (x + 8).$$
20. $$\frac{|2x - 3| - x}{x - 2} > 0.$$
21. При каких значениях $a$ уравнение $(5a - 1)x^2 - (5a + 2)x + (3a - 2) = 0$ имеет равные корни?
22. Упростить:
$$4x^4 \left(\frac{x}{a} + \sqrt[5]{a}x^{-0,6}\right) - \frac{1}{2} - 5^{0,4} \sqrt[5]{a}x^{-0,6} + \frac{3x}{a} \sqrt[5]{a^{-0,2}} \sqrt{ax^{-1}}$$
23. Доказать, что в прямой угольном треугольнике биссекторса прямого угла делит пополам угол между мединой и высотой, опущенными на гипотенуzy.
24. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенуzy прямой угольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определить углы прямой угольного треугольника.