Парадоксы реактивного движения

11

Парадоксы реактивного движения
М.С. Лившиц

Мощность ракетного движения

При работе реактивного движения химическая энергия топлива преобразуется в кинетическое энергию с определенным коэффициентом полезного действия: часть этой химической энергии расходуется на различные тепловые потери (нагрев стенок камеры дивигателя, тепло, уносимое истекающими газами, и др.). Отношение полученной кинетической энергии к химической энергии сгоревшего топлива называется внутренним (или эффективным) коэффициентом полезного действия $\eta_{\alpha\phi}$. Obviously он бывают порядка $0,3 \div 0,5$.

Пока умышленно не уточнялось — кинетическая энергия чего?

Рассмотрим систему координат, связанную с ракетой. За очень маленькое время $\Delta t$ из сопла ракеты будет выброшена масса газа $\Delta m$. Если $\Delta t$ достаточно мало, то скорость ракеты практически не меняется и система координат, связанную с ней, можно считать инерциальной. В этой системе координат ракета неподвижна, а значит, химическая энергия топлива переходит в кинетическую энергию газов.

Пусть $u$ — относительная скорость истечения газов из сопла ракеты; тогда кинетическая энергия массы газа $\Delta m$, вылетающего из сопла ракеты,

$$E_{\Delta m} = \frac{\Delta mu^2}{2}.$$

12

Так как мощность равна работе, совершаемой в единицу времени, то выражение для мощности мы получим, если вместо величины отбрасываемой массы газов подставим в наше выражение секундный расход массы μ.

Таким образом, мощность двигателя расчеты

$$P_{\text{дв}} = \frac{\mu u^2}{2}.$$

Это же выражение можно было получить и другим путем, рассматривая движение ракеты и газов в подвижной системе координат. При этом полученная за время работы ракетного двигателя кинетическая энергия $E$ расходуется на изменение кинетической энергии выбрасываемых газов $\Delta E_{\text{газа}}$ и изменение кинетической энергии ракеты:

$$\Delta E = \Delta E_{\text{газа}} + \Delta E_{\text{ракеты}}.$$

Найдем отдельно каждой из членов этой суммы.

1. Пусть скорость ракеты до выброса топлива $\Delta m$ равна $v$. тогда

$$\Delta E_{\text{газа}} = \frac{\Delta m (u - v)^2}{2} - \frac{\Delta m v^2}{2},$$

где $\frac{\Delta m v^2}{2}$ — кинетическая энергия, который обладает отбрасываемая масса газов до ее истечения (когда она находится в ракете и движалась вместе с ней со скоростью $v$), $\frac{\Delta m (u - v)^2}{2}$ — кинетическая энергия, который обладает отбрасываемая масса газов после ее истечения из сопла ракеты с относительной скоростью $u$ (так как в неподвижной системе координат ее скорость будет $u - v$).

2. Теперь займемся вторым членом — $\Delta E_{\text{ракеты}}$. Так как за время $\Delta t$ из сопла выбрасывается масса газа $\Delta m$, унося количество движения $\Delta mu$, то на эту массу газа в соответствии со II законом Ньютона действует сила

$$F = \frac{\Delta mu}{\Delta t} = \mu u.$$

По III закону Ньютона такая же по величины сил, но направлена в противоположную сторону, действует на ракету — это и есть сила тягги двигателя. Если за время $\Delta t$ ракета проплега расстояние $\Delta S$, то сила тягги двигателя совершила совершенное движение снаружи с координатом, связанная с ракетой.

Итак, мощность ракетного двигателя $P_{\text{дв}} = \frac{\mu u^2}{2}$ и при Staционарной работе двигателя остается постоянной. Запомним это.

Полезная механическая мощность двигателя (мощность, развиваемая сил тягги)

Основная задача двигателя — увеличивать кинетическую энергию ракеты. Мы видели, что сила тягги равна $F_{\tau} = \mu u$, а изменение кинетической энергии ракеты за время $\Delta t$ равно $\Delta E_{\text{ракеты}} = \mu u \cdot \Delta S$. Поэтому полезная мощность тягги двигателя равна

$$W_{\pi} = \frac{\Delta E_{\text{ракеты}}}{\Delta t} = \mu u \frac{\Delta S}{\Delta t} = \mu u v.$$

При Staционарной работе двигателя, то есть при постоянном секундном расходе массы и постоянной скорости истечения газов, полезная мощность двигателя растет пропорционально скорости ракеты.

На первый взгляд этот вывод кажется парадокальным. В самом деле, поскольку формула, которая мы получили, справедлива при любой скорости ракеты, то она будет спра-

13

ведлина и при такой скорости ракеты, при которой величины получаются полезной мощности станет больше мощности, развиваемой ракетным двигателем за счет энергии топлива!

Из сравнения выражений для мощности двигателя и для полезной мощности видно, что при $v = \frac{u}{2}$ полезная мощность становится равной мощности ракетного двигателя. Следовательно, при дальнейшем увеличении скорости ракеты она будет больше мощности двигателя. Такова та количественная граница, где появляется указаный парадокс.

Для того чтобы разобраться в этом парадоксе, нам придется рассмотреть, что такое внешний (полетный) коэффициент полезного действия. Однакоренено при этом мы выясним, почему ракетный двигатель целесообразно характеризовать не мощностью, как это принято для других двигателей, а развиваемой им силой тягги.

Внешний коэффициент полезного действия не может полностью характеризовать эффективность ракетного двигателя, так как в общем случае, как мы видели выше, энергия топлива распределяется между ракетой и выбрасываемыми газами. Поэтому в теории вводится еще так называемый внешний (или полетный) к.п.д., причем в литературе можно встретить два отличияся друг от друга определения и соответствующие выражения для внешнего к.п.д. Кажде из этих определений к.п.д. с различных точек энергия характеризует механику полета ракеты. Расмотрим эти определения, указывая одновременно на их логическое обоснование.

Первое определение внешнего к.п.д.

Полот с работящим двигателем является полетом тела переменной массы. Поэтому, помимо мощности ракетного двигателя, энергетическая

соответствие должны учитывать еще и обмен энергий между ракетой и покидащими ее газами, то есть всю мощность, которой мы располагаем. Изменение энергии ракеты может произсходить как за счет химического энергии топлива (работы силы тягги), так и за счет энергии, которой обладала выбрасываемая масса газов до ее истечения из ракеты. Она тоже может быть передана ракете.

Итак, внешний (полетный) к.п.д. можно определить как отношение работы силы тягги к сумме механической энергии, появляющейся за счет сгорания топлива, и энергии, которой обладала масса газов до ее истечения из ракеты. Это отношение можно заменить относением соответствующих мощностей (результат не изменится).

$$\eta' = \frac{\mu u v}{\mu^2 / 2 + \mu v^2 / 2} = 2 \frac{v}{u} / 1 + \frac{v^2}{u^2}.$$

Обозначив относение $\frac{v}{u} = R$, получим окончательную

$$\eta' = \frac{2R}{1 + R^2}.$$

Исследуем теперь формулу. Значение $\eta'$ максимально, когда $\frac{1}{\eta'}$ минимально, то есть когда минимально выражение $\frac{1 + R^2}{R} = \frac{1}{R} + R$. Но $\frac{1}{R} + R \geq 2 \sqrt{\frac{1}{R} \cdot R}$ (среднее аргументное двух чисел $a$ и $b$ больше среднего геометрического или равного ему, если $a = b$). Значит, $\frac{1}{R} + R$ минимально при $\frac{1}{R} = R$ (или, что то же, при $\frac{1}{R} + R = 2$). Это означает, что максимум $\eta'$ достигается при $R = 1$ и при этом $\eta' = 1$.

Физические это совершенню ясно: при $v = u$ истеклошая масса газа обладает кинетической энергейой, равной нулю, то есть полностью отдает

14

Кинетическая энергия, которую она имела равше, пакете.

График $\eta'$ имеет вид, показанный на рис. 1.

Уменьшение полетного к.п.д. при $v > u$ объясняется тем, что опять появляется и начинает возрастать энергия, уносимая стреей газа.

Второе определение внешнего к.п.д.

При втором определении внешнего к.п.д. к нему подходит следующее образом.

Единственный источником приращения кинетической энергии системы «ракета + отбрасываемые газы» является работа пакетного двигателя, то есть энергия, полученная за счет перехода химической энергии топлива в механическую энергию топлива и пакеты. А под полезной работе нужно помнить ту работу, которая идет на приращение кинетической энергии самой пакеты.

При этом внешний к.п.д. определяется как отношение полезной работы к полной механической энергии, получаемой в пакетном двигателе за счет химической энергии топлива.

Определим величины полезной работы в принятом здесь понимании.

Сила тягги производит над пакетной работе, которая увеличивает кинетическая энергия пакеты. Но, с другой стороны, масса газа, показанная пакету, уменьшает кинетическую энергию пакеты на ту величины, которой эта масса газа обладала (имея, так сказать, свой вклад в общую энергию пакеты) до ее истечения. Таким образом, полезная мощность равна $\mu uv - \frac{\mu v^2}{2}$.

Следовательно, по второму определению

$$\eta'' = \frac{\mu uv - \frac{\mu v^2}{2}}{\mu u^2} = 2R - R^2$$

Нарисуем график зависимости $\eta'' = 2R - R^2 = R (2 - R)$ от $R$. Это парабола, пересекающая ось $R$ в точках $R = 0$ и $R = 2$, с максимумом при $R = 1$ (рис. 2). То есть максимум $\eta''$ достигается тогда же, когда и максимум $\eta'$, — при $R = 1$ (при этом на приращение кинетической энергии движущейся вперед пакеты расходуется все механическая энергия пакетного двигателя, либо отбрасываемая масса газа обладает нулевой скоростью и не уносит с собой никакой энергии). Из графика видно, что при $R > 2 (v > 2u) \eta'' < 0$.

Вот тут, при рассмотрении второго определения к.п.д. пакетного двигателя, и раскрывается еще одна важная особенность физики пакетного двигателя, рассматриваемый с точки зрения изменения кинетической энергии

15

движущейся пакеты после достижения значения скорости полета пакеты $v=2u$, становится отрицательным! Еще один парадокс…

В чем же разгадка приведенных парадоксов?

1. Первый «парадокс», то есть тот факт, что мощность, развиваемая силой тягги, непрерывно растет с увеличением скорости пакеты и при $v > \frac{u}{2}$ становится больше мощности пакетаного движения, объясняется, как видно из первого определения внешнего к.п.д., наличием обменной части, мощностью которого мы рассматрием. Она тоже возрастает с увеличением скорости пакеты. Таким образом, при увеличении скорости пакеты покидащие пакету газы становится, так сказаны, все более «богатыми» и отдалит пакете все больше욕ную величины (абсолютную, а не относительной) той энергии $\frac{\mu v^2}{2}$, который они располагали до истечения из пакеты. Вылетающие из сопла пакеты газы отдалют пакете ту часть энергии, которая была запасена раньше. Это и приводит к тому, что мощность, развиваемая силой тягги, непрерывно растет и при $v > \frac{u}{2}$ становится больше욕ную величины, получаемой за счет химической энергии топлива.

2. Второй «парадокс» объясняется тоже довольно просто. Когда скорость пакеты становится больше двойной скорости истечения газов ($v > 2u$), энергия, уносимая газом, возрастает настолько, что истекающая струя газа уносит не только всю энергию, создаваемого в данной момент пакетным движения, но и часть энергии, которой обладала система «ракета — газ» до этого момента (накопленную за предыдущую «историю» полета). Или, если подойти несколько иначе к появлению физического смысла этого «парадокса»: уменшение кинетической энергии пакеты за счет уменшения ее массы (за счет «похудания») больше, чем уменшение кинетической энергии за счет уменшения скорости пакеты. Итак, пакетный движатель целесообразно характеризовать его силой тягги. Это резко отличается от привычной ситuation, скажем, для авто-