Архимед и квадратура параболы

8

Рис. 1.

Мы познакомим читателя с содержанием второй части работы.

1. Сформируем одно замечательное свойство параболы *), на котором основано все дальнейшее изложение.

Если пряма $AB$ касается параболы в точке $P$ и хорды $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$, … паралельны этой касательной, то середины хорд — точки $C_1, C_2, C_3$, … — лежат на одной прямой; эта пряма паралельна оси параболы и проходит через точку $P$ (рис. 1).

Кроме того,

$$\frac{A_1C_1^2}{PC_1} = \frac{A_2C_2^2}{PC_2} = \frac{A_3C_3^2}{PC_3} = \dots$$ (1)

Попробуйте доказать эти свойства параболы сами.

2. Рассмотрим теперь параболический сегмент, ограниченный другой параболы $APB$ и хордой $AB$ (рис. 2).

Точка параболы $P$, касательная в которой паралельна хорде $AB$, называем вершиной сегMENTа, а суму хорду $AB$ — основанием сегMENTа. Середина основания. Согласно свойству (1) пряма $PC$ паралельна оси параболы.

*) Напомним, что параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки и не проходящей через прямой. В соответствии with the definition of a parabola, a point on the parabola is a point where the distance from the vertex to the focus is equal to the distance from the focus to the directrix.

10

Докажем одно замечательное свойство этой последовательности, а именно докажем, что для любого $n$ справедливо следующие равенства:

$$s_1 + s_2 + \dots + s_{n-1} + s_n + \frac{4}{3} s_n = \frac{4}{3} s_1.$$

(6)

В самом деле, так как $4(s_1 + s_2 + \dots + s_{n-1} + s_n) = 4s_1 + (4s_2 + 4s_3 + \dots + 4s_{n-1} + 4s_n)$, из соответствий (5) следует, что $4(s_1 + s_2 + \dots + s_{n-1}) + 4s_n = 4s_1 + (s_1 + s_2 + \dots + s_{n-1})$, то есть $3(s_1 + s_2 + \dots + s_{n-1}) + 4s_n = 4s_1$.

Равенство (6) получается отсюда делением на 3.

6. Тепер уже можно доказать, что площадь параболического сегмента $S = \frac{4}{3} s_1$.

Архимед доказывает это равенство так называемым «методом исчерпывания». Этот метод, принадлежший одному из крупнейших греческих математков — Евдоксу (IV век до н. э.), заменял во время Архимеда метод предельного перехода.

Предположим, что $S > \frac{4}{3} s_1$ или $S < \frac{4}{3} s_1$.

Докажем, что это невозможно.

Предположим сначала, что $S > \frac{4}{3} s_1$.

Мы уже отмечали, что, продолжая процесс вписывания, можно добиться того, чтобы сумма площадей оставшихся сегментов была сколь годно малой. Это значит, что, подбирая соответствующим образом $n$, разность $S - (s_1 + s_2 + \dots + s_{n-1} + s_n)$ можно сделать меньше любого наперед заданного положительного числа. Подберем $n$ так, чтобы выполнялось равенство $S - (s_1 + s_2 + \dots + s_{n-1} + s_n) < S - \frac{4}{3} s_1$. Тогда $s_1 +$

$s_2 + \dots + s_{n-1} + s_n > \frac{4}{3} s_1$, а это, согласно равенству (6), невозможно *. Таким образом, неравенство (7) неверно.

Предположим теперь, что

$$S < \frac{4}{3} s_1.$$

(8)

Так как члены последовательности (4) стремятся к нулю, $n$ можно выбрать так, чтобы выполнялось следующей равенство:

$$\frac{4}{3} s_n < \frac{4}{3} s_1 - S.$$

Из этого неравенства с учетом равенства (6) получим

$$S < s_1 + s_2 + \dots + s_{n-1} + s_n$$

что, конечно же, невозможно.

Итак, и неравенство (8) неверно. Тем самым доказано, что $S = \frac{4}{3} s_1$.

7. Сделаем в заключение следующие замечание.

Как известно, древние греки под квадратурою фигуры понимали построение квадрата, равновеликого этой фигуре. Задча о квадратуре в «греческом смысле» не всегда имеет решение. Доказано, например, что для круга она неразрешима. То есть нельзя построить (при помощи циркуля и линейки) квадрат, равновеликий данному кругу.

Полученный Архимедом результат примечательен и в том смысле, что показывает возможность положительного решения задачи о квадратуре параболического сегмента: зная снование и высоту сегмента, всегда можно построить квадрат, равновеликий этому сегмента.

*) Мы предположили, что $S > \frac{4}{3} s_1$, следовательно, $S - \frac{4}{3} s_1$ — положительное число.