Trường trọng lực của một vật thể đồng nhất hình cầu

16

Trường mềm của một vật thể đồng nhất hình cầu

I. I. Ogievetsky

Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton xác định như nhau sự rơi của một quả táo xuống đất, chuyển động của Mặt trăng quanh Trái đất và quỹ đạo của các hành tinh. Nó dựa trên thực tế là lực căng giữa các điểm vật chất có khối lượng $m_1$ và $m_2$, nằm cách nhau một khoảng $l$, bằng

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{l^2},$$

(1)

trong đó $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{H \cdot m^2}{\kappa^2}$ là hằng số hấp dẫn (trong hệ SI). Nhưng Trái đất, Mặt trăng và các vật thể thực khác không chính xác, chúng có kích thước hữu hạn. Làm thế nào để xác định lực căng giữa các cơ thể bị mắc kẹt?

Lời giải bài toán này đã đưa Newton đến việc tạo ra ngành toán học quan trọng nhất - phép tính tích phân. Để tìm lực co của một điểm vật chất đối với một vật thể liên hợp, bạn nên nhẩm chia vật thể này thành những phần nhỏ (trong giới hạn - vô cùng nhỏ), tính toán sự đóng góp vào lực co thắt từ mỗi phần này bằng công thức (1) rồi cộng (giải thích) những sự đóng góp này. Các thiên thể có thể được coi là gần như đồng nhất hình cầu, nghĩa là tại bất kỳ điểm nào, mật độ của chúng hoàn toàn được xác định bởi khoảng cách từ điểm này đến tâm của thiên thể. Newton đã phát hiện ra một sự thật đáng chú ý:

$$F = \gamma \frac{4\pi R^2 \rho m}{d^2} = \gamma \frac{M \cdot m}{d^2},$$

(2)

trong đó $M$ là khối lượng bề mặt. Nói cách khác, lực kéo bên ngoài bề mặt hình cầu giống như khi toàn bộ khối lượng của bề mặt tập trung ở tâm của nó. Điều này ngay lập tức dẫn đến một phát biểu tương tự đối với một vật thể đồng nhất hình cầu.

*) Tính chất này thường được sử dụng vì rất quan trọng, không có bằng chứng. Sử dụng nó trong một số bài viết «Kvant». Vì vậy, việc hiểu nó chứng minh như thế nào là rất hữu ích.

18

Cơm. 3.

Bây giờ chúng ta sử dụng phép đảo ngược và thay thế $l$ trong (6) bằng $\bar{l} \frac{d}{R}$ theo (4):

$$\Delta F_{OQ} = \gamma \frac{m\rho R^2 \cos \alpha \Delta S}{d^2 \bar{l}^2} =$$
$$= \gamma \frac{m\rho R^2 \Delta \omega}{d^2},$$

(7)

nơi các giá trị được nhập
$$\Delta \omega = \frac{\cos \alpha \Delta S}{\bar{l}^2}.$$

Hãy thực hiện một quan sát quan trọng. Lưu ý rằng $\alpha$ cũng là góc giữa pháp tuyến (bán kính $OP$) với phần tử bề mặt $\Delta S$ và hướng $\bar{Q}P^*$, và cosa được đặt cho bất kỳ điểm nào $P$.

Do đó, có thể dễ dàng xác minh rằng $\Delta \omega$ là góc khối mà tại đó phần tử bề mặt $\Delta S$ có thể nhìn thấy được từ điểm $\bar{Q}$.

Nếu bạn giới thiệu một hình nón có đỉnh tại điểm $\bar{Q}$ và một đường viền chạy $\Delta S$ được hình thành, thì góc khối ở đỉnh của hình nón này sẽ là $\Delta \omega$ (Hình 3).

Về mặt số học, góc $\Delta \omega$ bằng diện tích mà hình nón này cắt ra từ một hình cầu có bán kính đơn vị có tâm tại điểm $\bar{Q}$.

*) Đây là lúc hoạt động đảo ngược là cần thiết. Với sự trợ giúp của nó, chúng tôi đã đưa khoảng cách $\bar{l}$ vào mẫu số (6) thay vì khoảng cách $l$, nhờ đó góc đặc $\Delta \omega$ xuất hiện trong công thức.

Chấp nhận hoàn toàn tất cả các bề mặt $\Delta S$:

$$F = \sum_{s} \Delta F_{OQ} = \gamma \frac{m\rho R^2}{d^2} \sum_{s} \Delta \omega =$$
$$= \gamma \frac{m\rho 4\pi R^2}{d^2} = \gamma \frac{mM}{d^2},$$

(8)

vì $\sum_{s} \Delta \omega = 4\pi$ là tổng góc đặc mà tại đó toàn bộ hình cầu có thể nhìn thấy được từ điểm bên trong $\bar{Q}$, và $4\pi R^2\rho = M$ là tổng khối lượng của bề mặt hình cầu. Như vậy Mệnh đề 1 đã được chứng minh.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một điểm vật chất $\bar{Q}$ có khối lượng $m$ bên trong một bề mặt hình cầu rỗng. Một lần nữa, từ các thông điệp về tính đối xứng, có thể thấy rất rõ ràng rằng lực do toàn bộ bề mặt hình cầu tạo ra chỉ có thể hướng dọc theo đường $O\bar{Q}$.

Do đó, chúng ta cần cộng các thành phần lực $\Delta F_{OQ}$ từ các phần tử của hình cầu $\Delta S$, bằng

$$\Delta F_{O\bar{Q}} = \gamma \frac{m\rho \Delta S \cos \beta}{\bar{l}^2} =$$
$$= \gamma \frac{m\rho R^2 \Delta S \cos \beta}{d^2 l^2},$$

(9)

nếu chúng ta sử dụng lại, chúng ta sẽ lấy nó từ nghịch đảo và thay thế $\bar{l}$ bằng $l \frac{d}{R}$ theo tương ứng (4).

Tính hình cầu $S$ thành hai phần $S_\Pi$ và $S_\lambda$ bằng mặt phẳng đi qua điểm $\bar{Q}$ vuông góc với đường thẳng