Olympic Thư tín khu vực châu Á của Liên Xô

58

Olympic thư tín
Aznat một phần của Liên Xô

Chúng tôi xuất bản các văn bản bài toán của các kỳ thi Olympic tương ứng về toán, vật lý và hóa học dành cho học sinh của các trường học và các cơ sở giáo dục trung học khác ở Siberia, Kazakhstan, Viễn Đông và Trung Á.

Những người hoàn thành thành công các nhiệm vụ của Olympic thư tín sẽ được mời tham dự các Olympic tài nguyên, khu vực, khu vực trên cơ sở bình đẳng với người chiến thắng trong các Olympic khu vực. Lời mời sẽ được gửi đến các tổ chức giáo dục công lập tại địa chỉ nhà. Những người chiến thắng Olympic tài nguyên và khu vực xuất sắc nhất sẽ tham gia vào loại cuối cùng của All-Oplympids, đồng thời sẽ được mời tham gia trường hè của chi nhánh Siberia của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Sau mỗi bài toán, các lớp dành cho học sinh mà nó dự định được chỉ định trong ngoặc đơn, nhưng bạn cũng có thể thử sức mình giải các bài toán để đạt điểm cao hơn. Để trở thành người chiến thắng Olympic, bạn không cần phải giải nhiều bài toán. Một lời giải dí dỏm nữa là đủ. Nhưng giải bài toán không có nghĩa là chỉ cho đáp số; cần phải biện minh, đưa ra bằng chứng chính xác. Bài toán không yêu cầu bất kỳ kiến ​​thức nào ngoài chương trình phổ thông. Lời giải bài toán đối với mỗi môn học phải được gửi trong một phong bì định dạng chuẩn riêng biệt. Viết tên món hàng lên phong bì. Thư phải được đựng trong một phong bì có ghi địa chỉ quê hương và dán tem; Trong phong bì này, bạn sẽ nhận được thông báo về kết quả công việc. Lời giải phải được viết thật dễ đọc. Các điều kiện bài toán không được viết lại nhưng số của chúng được chỉ định.

Đầu thư đừng quên ghi rõ (rõ ràng):

1. Họ, tên và tên đệm của bạn.
2. Địa chỉ nhà bưu điện (chi tiết).
3. Lớp, trường, cao đẳng, kỹ thuật, v.v., địa chỉ.
4. Họ, tên và chữ viết tắt của giáo viên của bạn cho môn học này.

Ngày cuối cùng bạn vẫn có thể gửi lời giải là ngày 1 tháng 2 năm 1972, có dấu bưu điện. Những thư gửi sau sẽ không được xem xét.

Người tham gia Olympida gửi lời giải đến địa chỉ: Novosibirsk, 90, Olympida.

Chúng tôi chúc tất cả những người tham gia Olympic đạt được thành công lớn nhất.

Ủy ban Thế vận hội
chi nhánh Siberia
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô

59

TOÁN HỌC

1. Cho ba điểm $P_1, P_2, P_3$ trên mặt phẳng không nằm trên cùng một đường thẳng. Điểm thứ tư $A$, khác với chúng, được phản ánh đối xứng đối với $P_1$, điểm kết quả được phản ánh đối xứng đối với $P_2$, điểm mới được phản ánh đối xứng đối với $P_3$, sau đó đối xứng với $P_1, P_2, P_3, P_1$, v.v. Điểm kết quả có nhất thiết trùng với điểm ban đầu $A$ ở một bước nào đó không? (10)

2. Một tứ giác được ghi trong vòng tròn, sau đó một vòng tròn được ghi ở mỗi đoạn trong số bốn đoạn tạo thành, chạm vào cạnh tương ứng của tứ giác ở giữa của nó (Hình 1). Với mỗi hình tứ giác, tổng độ dài của bốn hình tròn thu được sẽ nhỏ nhất? (10)

3. Dễ dàng chứng minh rằng hình vuông $10 \times 10, 20 \times 20, 30 \times 30$, v.v., được bao phủ bởi các hình có dạng

Graph

từ gót của các ô, nhưng hình vuông $5 \times 5$ thì không (cạnh của ô được lấy làm một).

Có thể bao phủ các hình vuông $15 \times 15, 25 \times 25, 35 \times 35$, v.v. bằng những hình như vậy không? (9-10)

4. Năm nút được chọn trên một tờ giấy ca rô vô hạn (một nút là điểm mà các đường tuyến tính giao nhau). Chứng minh rằng từ năm nút này chắc chắn có thể chọn được hai nút sao cho đoạn nối chúng đi qua một nút lưới khác. (9-10)

5. Vẽ một dây cung được chia cho hai bán kính cho trước

Cơm. 1.

của đường tròn trong quan hệ này $k_1:k_2:k_3$. (9-10)

6. Viết trong tam giác $ABC$ một hình bình hành $BMNK$ sao cho các điểm $K, M, N$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB, BC$ và $AC$ và sao cho đường chéo $KM$ có độ dài cho trước. (9)

7. Chứng minh rằng số 11…11 viết bằng đơn vị $2^n$ có ít nhất $2^n$ các ước khác nhau (bao gồm 1 và chính số đó). (8-9)

8. Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, tỉ số giữa bình phương của hình tròn đầy nắng và tổng bình phương độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các góc nhọn không vượt quá 1/5. (8-9)

9. Mười chiếc ba lô chứa 50 lon thực phẩm đóng hộp và những chiếc ba lô khác nhau chứa số lượng lon khác nhau. Được phép “cân bằng” số lượng lon trong hai chiếc ba lô, tức là chuyển một số lon từ ba lô có số lượng lon lớn sang một chiếc ba lô có số lượng nhỏ hơn để sự chênh lệch về số lượng lon trong chúng trở nên tối thiểu. Chứng minh rằng sau một số lần “cân bằng” nhất định có thể đạt được rằng trong mỗi ba lô có 5 lon. (8)

60

10. Ở một trong hai phòng cách ly có một bóng đèn điện, phòng còn lại có năm công tắc, một trong số đó được nối với bóng đèn. Hai người làm thí nghiệm cần tìm ra công tắc nào nối với bóng đèn hoạt động như sau. Họ đi đến các phòng khác nhau, một người chuyển (bất cứ thứ gì) công tắc, người kia nhìn bóng đèn, và sau đó họ gặp nhau.

Làm thế nào họ có thể giải được bài toán (họ không có đồng hồ)? (8)

11. Chứng minh rằng $m^2+1$ không chia hết cho 19 hoặc bất kỳ số nguyên $m$ nào. (8)

VẬT LÝ

1. Một ống hút có chiều dài $l$, khối lượng $M$ rơi xuống, giữ nguyên vị trí thẳng đứng. Một con kiến ​​có khối lượng $m$ bay dọc theo nó với tốc độ không đổi $v$. Một con kiến ​​sẽ làm được bao nhiêu công việc khi rây từ đầu ống hút này sang đầu ống hút kia?

Bỏ qua sự tuân thủ của không khí. (8)

2. Cân bằng của thước nằm đối xứng trên một hình trụ cố định có ổn định không?

Không có sự trượt. Tất cả các kích cỡ được đưa ra. (8-9)

3. Đun sôi nước trong nồi có nắp nặng. Chảo được lấy ra khỏi bếp, sau đó lá trà được đổ vào nước lặng. Nước sôi lên dữ dội. Giải thích hiện tượng này. (8-9)

4. Một hình phẳng được cắt thành hai phần dọc theo một đường thẳng đi qua trọng tâm. Khối lượng của các phần này có bằng nhau không? (8)

5. Anh ta đóng nó vào một chiếc đinh, rồi bắt đầu trượt khỏi một sợi dây đồng nhất có chiều dài $L$. Trọng lượng của một đoạn dây có chiều dài duy nhất là $d$. Tìm lực ép của sợi dây lên đinh khi khoảng cách giữa hai đầu của nó là $l$. Bỏ qua ma sát. (8-10)

6. Tại sao các nan hoa của bánh xe đạp lại được đặt hơi xiên chứ không phải hướng tâm? (Hình 2) (9)

Cơm. 2.

7. Cho biết hướng của lực ma sát tác dụng lên bánh trước và bánh sau của xe số tự động nếu chỉ dẫn động bánh sau. (8)

8. Ở dưới đáy của một chiếc bình kín, dẫn nước lên trên, tìm thấy hai cái giống hệt nhau

Cơm. 3.

bong bóng khí (Hình 3). Áp suất ở đáy là $p$. Một trong những bong bóng nổi lên. Áp suất ở phía dưới sẽ là bao nhiêu? (9-10)

9. Tại sao một vận động viên trượt băng lại khép các mũi giày trượt lại với nhau khi phanh mà không phải gót chân? (9-10)

10. Một chiếc hộp được gắn vào xe có khối lượng $M$, khối lượng của nó bị bỏ qua.

Cơm. 4.

61

chế độ là nhỏ. Đến mép trên của
rụt rè gắn một con lắc (Hình 4).
Chiều dài của con lắc là $l$, trọng lượng của vật nặng là $m$.
Bỏ qua ma sát của xe trên mặt phẳng nằm ngang, tìm chu vi
các dao động nhỏ của con lắc. (9-10)

11. Hai quả cầu đồng tâm với
    bán kính $R_1$ và $R_2$ được nối đất (Hình 5).

Cơm. 5.

Giữa các quả cầu ở khoảng cách $r$ từ
Tâm điểm chung của chúng là điện tích $q$.
Tìm tổng số phí trên mỗi
hình cầu. (10)

12. Trên andee triode phẳng
    Các điện cực giữ hướng $u$ (Hình 6). Cực âm của đèn được nối đất và lưới điện được cách điện. Quảng trường

Cơm. 6.

các tấm $S$, khoảng cách giữa anome và cực âm $L$, giữa cực âm và lưới - $l$. Khi điện tích trên lưới thì dòng điện qua đèn dừng lại? (10)

HOÁ HỌC

lớp 8

1. Trong quá trình tổng hợp từ các nguyên tố amoniac, 11 kcal/mol được giải phóng và trong quá trình tổng hợp từ các nguyên tố hydrazine $(N_2H_4)$ 10 kcal/mol được hấp thụ.
   Xác định năng lượng liên kết $N$ - $H$ và $N$ - $N$, nếu năng lượng liên kết trong phân tử hydro là 104 kcal/mol và trong nitơ phân tử là 170 kcal/mol.

2. Người ta biết rằng trong một số khoáng vật silicat tự nhiên, các anion có cấu trúc trong đó các terzadra $\text{SiO}_4^{2-}$ tạo thành chuỗi hai chiều vô hạn theo cách mà một số nguyên tử oxy đồng thời thuộc về hai tetradras. (Những nguyên tử oxy như vậy được gọi là cầu nối.) Công thức của một anion khoáng chất trong đó ba nguyên tử oxy trong bất kỳ tetra $\text{SiO}_4^{2-}$ nào đang bắc cầu? Vẽ một đoạn cấu trúc của anion này. Bạn biết những khoáng chất nào có anion này? Tính chất cơ học của chúng là gì và chúng liên quan như thế nào đến cấu trúc của khoáng chất?

3. Được biết, natri axetat $\text{CH}_3\text{COONa}$ tạo thành dung dịch siêu bão hòa dễ dàng hơn nhiều so với natri clorua. Đề nghị giải thích hiện tượng này.

4. Một mẫu cấu trúc magie trong không khí và tro được hòa tan trong 60 ml axit clohydric 1 M. Để trung hòa dung dịch này, người ta sử dụng 12 ml dung dịch natri hydroxit 1 M. Sau khi thêm lượng dư, đun sôi dung dịch và khí thoát ra được cho vào bình chứa 10 ml axit clohydric 1 M. Để trung hòa dung dịch trong bình, sử dụng 6 ml dung dịch natri hydroxit 1 M. Xác định khối lượng của mẫu magie và thành phần phần trăm của tro.

lớp 9

1. Độ hòa tan của iốt trong nước là 0,00134 mol/l và trong dung dịch kali 0,0070 M là 0,0048 mol/l. Tính độ tan của iốt trong dung dịch iodua 0,1 M