nhân vật Lissajous

23

Trong «Kvant» số 1 năm 1972, chúng ta đã nói về các thí nghiệm với một trong những thiết bị vật lý đơn giản nhất - nam châm *). Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận thêm về một số thí nghiệm mà chúng ta có thể tiến hành tại nhà.

Dao động đơn giản của một vật là những dao động trong đó độ lệch $x$ của vật so với vị trí cân bằng thay đổi theo định luật

$$x = a \sin(\omega t + \varphi),$$

trong đó $a$ là biên độ, $\omega$ là tần số, $\varphi$ là pha ban đầu của dao động.

Những rung động như vậy được gọi là sóng hài. Dao động điều hòa được thực hiện bởi một con lắc toán học, một vật nặng đặt trên một lò xo, một chiều trong mạch điện.

Trong bài này chúng ta sẽ xét trường hợp một vật tham gia đồng thời vào hai dao động điều hòa. Nếu cả hai dao động xảy ra dọc theo một đường thẳng thì phương trình chuyển động của vật sẽ được biểu diễn bằng tổng phương trình của hai chuyển động:

$$x = A_1 \sin(\omega_1 t + \varphi_1) + A_2 \sin(\omega_2 t + \varphi_2).$$

Không khó để xây dựng đồ thị độ dịch chuyển của một vật khỏi vị trí cân bằng của nó như một hàm số của thời gian. Để làm điều này, bạn cần thêm tọa độ của các đường cong tương ứng với chuyển động thứ nhất và thứ hai. Hình 1 cho thấy một ví dụ về phép cộng hai dao động điều hòa (hình sin màu đen). Đường màu đỏ tương ứng với kết quả của cú swing bị hỏng. Nó không còn hài hòa nữa.

Các quỹ đạo phức tạp hơn thu được bằng cách cộng các dao động theo hai hướng phân phối lại cho nhau. Một ví dụ về dao động như vậy là chuyển động của một vật thể được hiển thị trong Hình 2. Trong trường hợp này, loại quỹ đạo phụ thuộc vào sự tương ứng của tần số, biên độ và pha của các dao động phân phối lại lẫn nhau. Những quỹ đạo này được gọi là hình Lissajous, được đặt theo tên của nhà vật lý người Pháp Lissajous, người đầu tiên mô tả chúng vào năm 1863. Cách thiết lập được Lissajous sử dụng

*) G.L. Kotkin, Olytes có nam châm, «Kvant» Số 1, 1972

24

Cơm. 2.

được hiển thị trong Hình 3. Âm thoa $T'$ dao động trong mặt phẳng nằm ngang, âm thoa $T$ - theo phương thẳng đứng. Một tia sáng đi qua thấu kính và chạm vào gương gắn trên âm thoa $T'$, bị nó phản xạ, chạm vào gương gắn trên âm thoa $T$, và sau khi phản xạ thứ cấp chạm vào màn hình. Khi chỉ rung một âm thoa, điểm sáng trên màn hình sẽ dao động theo đường thẳng. Nếu cả hai âm thoa đều rung, điểm đó có thể mô tả những quỹ đạo phức tạp.

Cơm. 3. Cài đặt Lissajous.

Quỹ đạo của một vật trong trường hợp nó đồng thời tham gia vào hai dao động vuông góc lẫn nhau được mô tả bởi hệ thống điều khiển

$$x = A_1 \sin (\omega_1 t + \varphi_1),$$
$$y = A_2 \sin (\omega_2 t + \varphi_2),$$

trong đó $x$ và $y$ là hình chiếu chuyển vị của cơ thể trên trục $X$ và $Y$.

Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$ và $\omega_1 = \omega_2 = \omega$. Sau đó

$$x = A_1 \sin \omega t,$$
$$y = A_2 \sin \omega t.$$

Điều này có nghĩa là $y = \frac{A_2}{A_1} x$; do đó, tương ứng (2) mô tả một đoạn thẳng. Góc nghiêng $\alpha$ với trục $X$ được cho bởi phương trình

$$tg \alpha = \frac{A_2}{A_1}.$$

Hãy để bây giờ $\varphi_1 = \varphi_1' + \frac{3\pi}{2}$. Sau đó

$$x = A_1 \cos (\omega_1 t + \varphi_1'),$$
$$y = A_2 \sin (\omega_2 t + \varphi_2).$$

Trước tiên chúng ta hãy phân tích trường hợp đơn giản nhất, khi $A_1 = A_2$, $\varphi_1' = \varphi_2 = 0$ và $\omega_1 = \omega_2 = \omega$, tức là

$$x = A \cos \omega t,$$
$$y = A \sin \omega t.$$

Một điểm có tọa độ $x$ và $y$ được xác định theo phương trình này mô tả một đường tròn có bán kính $A$. Thật vậy, $x^2 + y^2 = A^2 \cos^2 = \omega t + A^2 \sin^2 \omega t = A^2$. Và điều này có nghĩa là quỹ đạo chuyển động là một vòng tròn.

Hãy để bây giờ $A_1 \neq A_2$. Chúng ta hãy xây dựng quỹ đạo chuyển động cho trường hợp $A_1 = 1$, $A_2 = 2$. Tại thời điểm có độ lệch tối đa $x = A_1 = 1$, tức là $\cos \omega t = 1$, $\omega t = 0$ và do đó $y = 2 \sin \omega t = 0$. Tương tự, tại $x = 0$ $y = 2$, tại $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $y = \sqrt{2}$, v.v.:

Bằng cách xây dựng biểu đồ sử dụng các tọa độ này, chúng ta thu được một hình elip, hình elip lớn hơn bằng $A_2$,

25

một $-A_1$ nhỏ, tức là hình elip được kéo dài dọc theo trục $Y$ (Hình 4, a) *). Thật dễ dàng để chỉ ra rằng đối với $A_1 = 2$ và $A_2 = 1$, chúng ta thu được một hình elip kéo dài dọc theo trục $X$ (Hình 4b).

Vì vậy, rõ ràng là bằng cách thay đổi sự tương ứng của biên độ, có thể thu được các hình elip khác nhau.

Bây giờ đặt $\omega_1 = 2\omega$, $\omega_2 = \omega$, $\varphi'_1 = 0$ và $\varphi'_2 = 0$. thì hệ phương trình (3) có dạng

$$x = A_1 \cos 2\omega t,$$
$$y = A_2 \sin \omega t.$$

Chúng ta hãy biến đổi phương trình của $x$ như sau:

$$x = A_1 \left( \cos^2 \omega t - \sin^2 \omega t \right) =$$
$$= A_1 \left( 1 - 2 \sin^2 \omega t \right) = A_1 \left( 1 - 2 \frac{y^2}{A_2^2} \right).$$

Đường cong này là một phần của parabol có trục dọc theo trục $X$ và có đỉnh tại điểm $x = A_1$ (Hình 5). Như vậy, chúng ta có một đường cong mở.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét ảnh hưởng của tần số đến hình dạng của quỹ đạo và coi biên độ của dao động ngang và dao động dọc được mô tả bởi hệ phương trình (3) là như nhau.

Ví dụ, chúng ta hãy xây dựng các đường cong tương ứng với các phương trình

$$\begin{cases} x = A \cos \omega t, \\ y = A \sin 2\omega t, \end{cases}$$

Cách dễ nhất để làm điều đó là cách này. Lấy một hình tròn có bán kính $A$ (Hình 6), đánh dấu trên đó các điểm tương ứng với các góc $\omega t$ bằng 0, $\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}, \pi, \dots, 2\pi.$

*) Hệ phương trình

$$\begin{cases} x = A_1 \cos \omega t, \\ y = A_2 \sin \omega t \end{cases}$$

mô tả một hình elip, có thể được hiển thị trong phân tích:

$$\frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} = \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = 1,$$

tức là điểm có tọa độ $x$ và $y$ nằm trên hình elip. (Xem bài viết “Ellipse” của I. N. Bronstein, đăng trên «Kvant» Số 9, 1970)

26

Nếu chúng ta lấy một đường tròn có bán kính $A$ thì tọa độ $x$ và $y$ của mỗi đường tròn là hình chiếu của bán kính vectơ của các điểm này trên trục $X$ và $Y$.

Đối với cả hai trường hợp, thu được các đường cong khép kín, số vòng lặp tương ứng với tỷ lệ
$$n = \frac{\omega_2}{\omega_1} \text{ (рис. 7, а, б)}.$$

Hình vẽ trong Hình 8 không đóng. Nó tương ứng với hệ phương trình
$$x = \cos 2\omega t,$$
$$y = \sin 3\omega t.$$

Trong trường hợp nào chúng ta nhận được số liệu không được tiết lộ? Có thể tìm thấy các mẫu chung không? Ta xét các phương trình có dạng
$$x = A_1 \cos p\omega t,$$
$$y = A_2 \sin q\omega t.$$

Trước hết, chúng ta lưu ý rằng tại điểm mà đường cong quay ngược lại theo cùng một quỹ đạo, vận tốc của vật dọc theo trục $X$ và $Y$ đồng thời trở thành 0. Rốt cuộc, trong trường hợp này, cơ thể đang ngạc nhiên dọc theo đường cong, dừng lại và sau đó bắt đầu ngạc nhiên trở lại. Nếu $x = A_1 \cos p\omega t$ thì
$$v_x = \frac{A_1 \cos p\omega t_2 - A_1 \cos p\omega t_1}{t_2 - t_1} =$$
$$-2A_1 \sin \frac{p\omega t_2 + p\omega t_1}{2} \sin \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2} = \frac{t_2 - t_1}{t_2 - t_1}.$$

Khi $t_2 \approx t_1 = t$ (sự khác biệt $t_2 - t_1$ nhỏ), $\sin \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2} \approx \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2}$.

Kết quả là
$$v_x = -A_1 p\omega \sin p\omega t.$$
Tương tự với $v_y$ ta có
$$v_y = A_2 q\omega \cos q\omega t.$$

Hãy xem khi nào vận tốc $v_x$ và $v_y$ tiến về 0.
$$v_x = 0, \text{ если } p\omega t = k\pi,$$
$$v_y = 0, \text{ если } q\omega t = \frac{\pi}{2} + m\pi.$$

Từ những điều kiện này rõ ràng là hình Lissajous không bị đóng trong

27

trong trường hợp

$$\frac{p}{q} = \frac{2k}{2m + 1}$$

Đặc biệt, đường cong ở Hình 8 thỏa mãn điều kiện này.

Các mẫu Lissajous có thể được quan sát trên màn hình dao động. Khi quét dọc, một dao động điều hòa được áp dụng, khi quét ngang, một dao động điều hòa khác được áp dụng. Tổng của chúng có thể có nhiều dạng khác nhau. Để làm được điều này, chỉ cần thay đổi tần số của điện áp xoay chiều trên các bản của máy hiện sóng là đủ.

Mỗi bạn có thể tự làm một thiết bị rất đơn giản để quan sát và chụp ảnh các nhân vật của Lissajous. Lấy một thước kim loại thông thường và uốn cong nó sao cho mặt phẳng của một nửa thước khác với mặt phẳng của nửa sau (xem Hình 9).

Đặt một đầu của thước vào một đầu thước. Nếu bây giờ bạn vung đầu tự do của thước, nó sẽ mô tả các hình phức tạp trong không khí. Đây sẽ là những nhân vật của Lissajous.

Chuyển động của đầu tự do của thước bao gồm các dao động độc lập của hai phần của thước. Tuy nhiên - từ khúc cua đến khúc cua và khúc thứ hai - từ khúc cua đến cuối. Dao động của từng phần trong mặt phẳng biến thiên của thước trên đoạn đó. Vì góc uốn của thước là $\frac{\pi}{2}$ nên các dao động xen kẽ nhau. Loại quỹ đạo của phần cuối của thước phụ thuộc vào chiều dài và chiều rộng của thước cũng như vị trí uốn thước.

Bạn có thể sử dụng cùng một thước kẻ để có được các hình dạng khác nhau. Để thay đổi sự tương ứng giữa các rung động theo chiều dọc và chiều ngang, việc kẹp thước vào một cái kẹp ở những vị trí khác nhau là đủ.

Vì tần số dao động phụ thuộc vào độ dài của thước, nên bằng cách thay đổi sự tương ứng giữa độ dài của các phần của thước, bạn sẽ thay đổi sự tương ứng giữa tần số dao động xen kẽ lẫn nhau của đầu thước. Trong trường hợp này, bạn sẽ nhận được các quỹ đạo khác nhau của phần cuối của thước.

Để tạo thành số liệu nhận, bạn cần gắn một bóng đèn pin nhỏ vào đầu tự do. Bóng đèn được nối với pin bằng dây căng dọc theo thước (Hình 9). Bằng cách đặt nam châm phức tạp trong phòng tối, chúng ta có thể tạo ra dao động trong thước. Thời gian phơi sáng phải đủ dài. Bạn có thể xác định nó bằng cách thử nghiệm một số thử nghiệm với các mức phơi sáng khác nhau.