Bài toán M171—M175; F183—F187

40

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ
SỐ LƯỢNG

Lời giải bài toán của số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 31 tháng 12 tới địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, nhà xuất bản “Nauka”, tòa soạn tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy cho biết lời giải bạn đang gửi bài toán nào; ví dụ: “Sự cố «Kvant», M146, M148”. Ở phần đầu của bức thư, hãy cho biết họ, tên, họ hàng, địa chỉ nhà, cũng như lớp và trường nơi bạn học. Lời giải của mỗi bài toán (nếu bạn gửi nhiều lần cùng một lúc) phải được viết trên (các) tờ giấy riêng, các trang đã được kiểm tra. Lời giải bài toán cho mỗi môn học - toán và vật lý, cũng như bài toán mới - phải được gửi trong các phong bì riêng.

Bài toán

M171. Một hình lục giác đều được vẽ trên mặt phẳng, độ dài cạnh của nó là 1. Chỉ dùng thước kẻ dựng một đoạn có độ dài 1/7.

A. V. Alyaev

M172. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ số
$$\underbrace{11\ldots122\ldots233\ldots3\ldots99\ldots9}_{p}$$
chia hết cho $p$.

M. L. Gerver

M173*. Trong một bảng vuông 4x4, các số 1, 2, 3,… được sắp xếp.

Cơm. 1.
40

16 sao cho tổng của bốn số ở mỗi hàng, mỗi cột và trên mỗi đường chéo của hai số đó bằng nhau, trong đó 1 và 16 đứng ở góc đối diện của bàn. Chứng minh rằng trong “hình vuông ma thuật” này tổng của hai số bất kỳ nằm đối xứng nhau qua tâm hình vuông là bằng nhau.

L. G. Limanov

M174. Trên các cạnh của tam giác $ABC$, cũng như trên các đáy, các tam giác đều $AB_1C$, $BA_1C$ và $AC_1B$ được dựng (Hình 1). Chứng minh rằng các đường vuông góc hạ xuống từ

41

các điểm $A, B$ và $C$ tương ứng trên các đường $B_1C_1, C_1A_1$ và $A_1B_1$, giao nhau tại một điểm.

A. G. Gein

M175* a) Mỗi ​​cạnh của một tam giác đều được chia thành $m$ các phần bằng nhau và vẽ các đường thẳng song song với các cạnh thông qua các điểm chia, cắt tam giác đó thành $m^2$ các tam giác nhỏ. Trong số các đỉnh của các tam giác thu được, cần đánh dấu các đỉnh $N$ sao cho đối với hai đỉnh lệch nhau bất kỳ $A$ và $B$ thì đoạn $AB$ không song song với bất kỳ cạnh nào ($m=6$ trong Hình 2). Giá trị lớn nhất có thể có của $N$ (đã cho $m$) là bao nhiêu?

6. Chúng ta hãy chia mỗi cạnh của tứ diện thành $m$ các phần bằng nhau và thông qua các điểm chia chúng ta vẽ các mặt phẳng song song với gam. Trong số các đỉnh của khối đa diện thu được, chúng ta đánh dấu các đỉnh $N$ sao cho không có hai đỉnh lệch nhau nào nằm trên một đường thẳng song song với một trong các mặt. Điều gì có thể nhất $N$?

c) giữa các phương trình số nguyên lời giải

$$x_1+x_2+\ldots+x_k=m,$$

thỏa mãn điều kiện $0 \leq x_i \leq m$ (với tất cả $i=1, 2, \ldots, k$), bạn cần chọn $N$ lời giải sao cho không có hai trong số lời giải được chọn bất kỳ $x_i$ nào không thuộc cùng một giá trị. Giá trị tối đa có thể có của $N$ là bao nhiêu? (Nhiệm vụ a) và 6) là trường hợp một phần của nhiệm vụ theo $k=2$ và $k=3$.

M. L. Gerver

F183*. Một lực kế đang trượt trên một mặt bàn nằm ngang nhẵn thì bị kéo với một lực không đổi $F=4 \text{ n}$. Lực kế cho thấy điều gì nếu khối lượng của súng bằng khối lượng của vật và đường kính chia độ ở vị trí nằm ngang?

G. L. Komkin

F184. Khi truyền hình ảnh tivi trên Trái đất, 25 khung hình được truyền trong 1 giây. Điều này có nghĩa là 1 khung hình được truyền trong $\frac{1}{25}$ giây. Đồng thời, như đã biết, việc truyền một khung hình ảnh Mặt trăng, được cải tiến theo tiêu chuẩn “Mặt trăng”, kéo dài 25 phút. Tại sao lại có sự chênh lệch lớn về thời gian truyền của 1 khung hình trong trường hợp chung?

F185. Một quả bóng chuyền có khối lượng 200 g và thể tích 8 lít có áp suất 0,2 amp. Quả bóng được ném lên độ cao 20 m và sau khi ném xuống mặt đất cứng, nó đã nhảy lên gần như độ cao tương tự. Tính nhiệt độ không khí lớn nhất của quả bóng lúc chạm đất. Nhiệt độ không khí bên ngoài $300^\circ \text{K}$, độ đặc nhiệt của không khí ở thể tích không đổi $c_v=0,16 \text{ кал/л·срэд}$.

F186. Khi xe buýt hoặc xe tự động rẽ, hành khách sẽ bị ném theo hướng ngược lại với hướng rẽ. Đồng thời, việc quay đầu máy bay hoàn toàn không bị hành khách nhầm lẫn. Giải thích sự khác biệt này.

Tôi. Sh. Tiếng Slovodechkiy

F187. Một tấm kim loại mỏng có diện tích $s$ được lấp đầy bởi một lớp điện môi lỏng có mật độ $\rho$ và hằng số điện môi $\varepsilon$, do đó độ dày của lớp này nhỏ hơn nhiều so với kích thước tuyến tính của tấm. Điều gì sẽ xảy ra với chất lỏng nếu tấm được tích điện $+Q$?

V. D. Krivenkov

*) Trong “Kvashta” số 9, 10, các số bài toán phải được đọc: F173—F177 và F178—F182.