Olympic Toán Quốc tế dành cho học sinh lần thứ XIV

58

OLYMPIAD TOÁN QUỐC TẾ XIV DÀNH CHO HỌC SINH

Từ ngày 5/7 đến ngày 18/7, Kỳ thi Olympic Toán quốc tế dành cho học sinh lần thứ XIV sẽ diễn ra tại Ba Lan. Công việc của zhorny bắt đầu ở Warsaw, và chính họ đã thực hiện những chuyến đi đến thành phố cổ phía tây Ba Lan - Torun. Các đội đến từ 14 quốc gia đã tham gia oplitpad: Úc, Bulgaria, Anh, Hungary, Đông Đức, Cuba, Mông Cổ, Hà Lan, Ba Lan, Romania, Liên Xô, Tiệp Khắc, Thụy Điển, Nam Tư. Lãnh đạo các đội của các quốc gia này thành lập ban giám khảo quốc tế, do Giáo sư Đại học Torun Stanislav Balcezyk đại diện. Tất cả các quốc gia được liệt kê ở trên đã tham gia Thế vận hội trước đó.

Mỗi đội gồm 8 người (chỉ có 3 người đến từ Cuba). Ở mỗi quốc gia, đội được thành lập dựa trên kết quả của các giải đấu quốc gia khác nhau. Theo nhóm nhiều người đứng đầu, Olympic quốc tế là động cơ khuyến khích để nâng cao mức độ và mức độ phổ biến của Olympic quốc gia. Ở một số quốc gia, các cuộc thi vòng loại bổ sung được tổ chức giữa những người chiến thắng trong Olympic quốc gia để xác định thành phần của đội. Độc giả Quát sẽ thích thú khi biết rằng bài toán từ Quat đang được giới thiệu ở Anh trong cuộc tuyển chọn cuối cùng này (xem số 4, 1971, bài toán M76). Bài toán Kvata cũng được sử dụng ở Hà Lan và nhiều nước khác.

Đội tuyển Liên Xô được thành lập dựa trên kết quả của Olympic Toán toàn Liên minh VI. Trong số đó có Sergey Belkin, học sinh trường số 7 ở Mátxcơva (trước đây học ở trường số 556 ở Mátxcơva), Vladimir B. Urkov, học sinh trường nội trú thuộc Đại học quốc gia Mátxcơva. Lomonosov (trước đây học tại trường 25 ở Vladimir), Andrey Golberg - học sinh trường 2 Matxcova, Yury Kolmkov - sinh viên trường nội trú Đại học quốc gia Mátxcơva. Lomonosov (trước đây học tại trường 1 ở Rasskazovo, Tambov Olympiad), Sergey Konyagin - học sinh lớp 9 trường số 9 thành phố. Saratova, Merkuvev Alexander - học sinh trường nội trú Đại học Leningrad, Shapovalov Alexander - học sinh trường nội trú Đại học Moscow (trước đây học trường làng

Chemolgan, vùng Alma-Ata), Vladimir Schwartz - sinh viên trường nội trú tại Đại học Leningrad. Thành viên dự bị của đội gồm có: Lando Sergei - học sinh trường 19. Perm và Leshiner Dmitry - học sinh lớp 9 trường 2 Moscow.

Một đội Liên Xô gồm 8 người đã tiếp cận Warsaw vào ngày 7/7. Sovetnova diễn ra ở Torun vào ngày 10 và 11/7.

Số điểm tối đa mà một kế toán viên có thể đạt được là bốn mươi. 8 kế toán viên đạt 40 điểm và được cấp bằng loại 1. Họ đã được tiếp nhận bởi Gregos Andrejczyk - Ba Lan, Vladimir Burkov - Liên Xô, Vilmos Komornik - Hungary, Sergey Konyagin - Liên Xô, Pavel Kroeger - CHDC Đức, Martin Mirka - Romania, Solt Tuza - Hungary, Zoltan Furedi - Hungary.

Những người đăng ký đạt từ 30 đến 39 điểm được cấp bằng tốt nghiệp cấp hai. Từ đội của chúng tôi, Sergei Belkin (39 điểm), Alexander Merkuvev (38 điểm), Andrei Golberg (33 điểm), Vladimir Schwartz (30 điểm) đã nhận được bằng cấp hai.

Bằng cấp 3 được trao cho các kế toán viên đạt điểm từ 19 đến 29 điểm thuộc về đội tuyển Liên Xô (28 điểm) và Alexander Shapovalov (22 điểm).

Như vậy, cả 8 thành viên của đội tuyển Liên Xô đều được công nhận tại Olympic.

Nhìn chung, đội Liên Xô đạt điểm cao nhất (270 trên 320 có thể). Tiếp đến là các đội Hungary (263 điểm), Đông Đức (239 điểm), Romania (206 điểm), Anh (179 điểm).

Tại lễ bế mạc Olympic diễn ra tại Warsaw vào ngày 17 tháng 7, Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Giáo dục Cộng hòa Nhân dân Ba Lan Jerzy Kuberski đã trao bằng và bằng khen cho những người chiến thắng.

Bài toán Olympic Toán quốc tế lần thứ XIV

Ngày đầu tiên trồng trọt

1. Chứng minh rằng từ 10 số tự nhiên có hai chữ số bất kỳ, người ta có thể chọn được hai nhóm số khác nhau không cắt nhau sao cho tổng các số trong các nhóm đó bằng nhau. (SSR, 5 điểm).

59

2. Chứng minh rằng các mệnh đề sau đây với mọi số $n \geq 4$:
   một tứ giác nội tiếp tùy ý có thể được chia thành các tứ giác $n$, xung quanh mỗi tứ giác có thể mô tả một đường tròn. (Hà Lan, 6 occ).

3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm $m$ và $n$ thì số $(2m)!(2n)!$ là số nguyên (chúng ta giả sử $0! = 1$). (Anh, 7 tháng 10)
   Ngày thi đấu thứ hai

4. Tìm tất cả các hệ bất đẳng thức lời giải $(x_1; x_2; x_3; x_4; x_5)$:
   $$x_1^2 - x_3x_5)(x_2^2 - x_3x_5) \leq 0,$$
   $$x_2^2 - x_4x_1)(x_3^2 - x_4x_1) \leq 0,$$
   $$x_3^2 - x_5x_2)(x_4^2 - x_5x_2) \leq 0,$$
   $$x_5^2 - x_2x_4)(x_1^2 - x_2x_4) \leq 0.$$
   (Hà Lan, 7 giờ nhé.)

5. Đặt $f$ và $g$ là các hàm thực được xác định trên toàn bộ dòng và thỏa mãn phương trình

$$f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)$$

dành cho tất cả mọi người $x, y$. Chứng minh rằng nếu $f(x)$ không bằng 0 và nếu $f(x) \leq 1$ với mọi $x$, thì $|g(y)| \leq 1$ với mọi $y$. (Bulgaria, 7 okkov.)

6. Cho bốn mặt phẳng song song khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một tứ giác đều có các đỉnh trên mỗi mặt phẳng này. (Anh, 8 tháng 10)

V. A. Skovortsov, I. S. Petrkov

Sau Olympic Toán toàn Liên minh, 10 người chiến thắng - 8 học sinh lớp 10 và 2 học sinh lớp 9 - đã tham gia trại huấn luyện lần thứ ba, được tổ chức tại Gorki Leninskiye từ ngày 23 tháng 6 đến ngày 6 tháng 7 tại trường để tưởng nhớ V.I. Lênin. Vào buổi sáng, những người tham gia cuộc tụ họp tham gia giải bài toán, và vào buổi chiều, họ tắm nắng, bơi lội, chơi bóng rổ, bóng đá và cờ vua.

Nhiều bài toán được cung cấp cho bộ sưu tập rất thú vị. Ví dụ:

1. Hai chiếc gốm ở makuo cerus: trên một tờ giấy ca rô vô tận, mỗi chiếc có nhiệm vụ riêng; chúng ta sẽ vẽ lên một cạnh nhất định nối hai nút liền kề của hạt giống với các nút riêng của nó. Mỗi xương sườn được sơn không quá một cerem. Chứng minh rằng người thứ hai có thể đặt điểm bắt đầu để kết nối hai ở mặt trước của các nút tự chọn của hạt giống của mặt bị gãy của một cerem, nếu xem xét giữa các nút cố định lớn hơn một.

2. Chứng minh rằng không thể xếp một mặt phẳng có chu kỳ 7 năm lồi bằng nhau mà không có thuế.

3. Có một đường tròn trên tờ giấy ngói đi qua chính xác 17 điểm nguyên không?

Theo ý kiến ​​của chúng tôi, những cuộc tụ họp này rất hữu ích. Quá trình đào tạo mà chúng tôi thực hiện đã giúp đội của chúng tôi đạt thành tích tốt tại Olympic quốc tế. Trong trại huấn luyện, một đội thống nhất đã được thành lập, điều này rất quan trọng trong bất kỳ cuộc thi đồng đội nào.

Vào ngày 6 tháng 7, đoàn chúng tôi lên đường đi Warsaw. Tại Warsaw, tôi tham gia và nghỉ tại khách sạn Riviera, từ đó vào ngày 8 tháng 7, tôi đi ô tô về quê hương của Nicolaus Copernicus - thành phố Toruń, nơi diễn ra cuộc thi.

Vào ngày 9 tháng 7, chúng tôi khám phá thành phố Torun. Bây giờ thành phố đang chuẩn bị cho lễ kỷ niệm 500 năm của Copernicus. Việc xây dựng lại nhiều di tích lịch sử sẽ diễn ra ở khắp mọi nơi. Tất cả các tòa nhà và công trình kiến ​​​​trúc của khu vực cũ của thành phố đều mang lại diện mạo như thời Copernicus.

Cuộc thi diễn ra vào ngày 10 và 11 tháng 7. Tác phẩm được viết trong 8 phòng học, trong mỗi phòng học. Một người từ mỗi đội. Trong cuộc thi, các hộ gia đình hiếu khách đã chiêu đãi người tham gia bữa sáng thứ hai và nước cam. Chúng tôi đã được đề nghị với giá lời giải 6 bài toán (trong hai ngày). Theo chúng tôi, thang đo trung bình của đề xuất bài toán thú vị nhất là thang đo bài toán thứ ba của ngày đầu tiên, mặc dù thực tế là nó cho phép ba lời giải: tổ hợp, bằng quy nạp và lời giải, xem xét lũy thừa của ước số nguyên tố $p$, được bao gồm trong tử số và mẫu số của phân số $\frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m + n)!}$.

Các bài toán của ngày đầu tiên được chấm với ít câu hỏi hơn bài toán vào ngày thứ hai, nhưng chúng lại gây khó khăn cho nhiều người tham gia Olympic.

Sau cuộc thi, một chuyến tham quan bằng ô tô thú vị đến Ba Lan đã bắt đầu. Chúng tôi đi theo lộ trình: Torun - Grionwald - Ostródda - Olsztyn - Elbląg. Vào ngày 13 tháng 7, chúng tôi đi từ Elbląg đến Frombrok và quay trở lại Elbląg trong cùng ngày. Sau đó vào ngày 14 tháng 7, sau khi tham quan lâu đài ở Malborn, chúng tôi quay trở lại Torun qua Kwidzdyn và Grudziadz. Vào ngày 15 tháng 7, các thí sinh tham gia Olympic đã có chuyến tham quan chung cùng với trưởng đoàn. Vào ngày này chúng tôi đã biết được kết quả của Olympic. Qua Kruzhewda, Gniezno, Rogalin, Kurnik chúng tôi đến Poznan. Ostotreb thành phố này là một thành phố có nền văn hóa cổ xưa - chúng tôi trở lại Warsaw.

*) Chi tiết lời giải của tất cả bài toán Olympic sẽ được đăng trên tạp chí “Toán học ở trường”, số 6, 1972. Xem thêm tr. 63.

60

Trong Thế vận hội, trẻ em từ các quốc gia khác nhau được kết nối bằng công nghệ tình bạn. Mặc dù chúng tôi nói những ngôn ngữ khác nhau nhưng chúng tôi có một ngôn ngữ chung - ngôn ngữ toán học. Trong quá trình làm quen với các em học sinh các đội khác, chúng em đã trao đổi nhiệm vụ và kể cho nhau nghe Olympic quốc gia diễn ra như thế nào. Anh ấy muốn mang đến cho chúng ta điều thú vị nhất của bài toán.

1. Giả sử rằng $a_n$ là tổng các chữ số của số 1972$^n$ theo ký hiệu thập phân. Chứng minh rằng
   $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = 0.$$
   Điều bài toán này đã được các thành viên của người dùng cho chúng tôi biết. Tại All-User Olympiad, chỉ có một số người giải được nó.

2. Chứng minh tồn tại dãy số nguyên $\{a_n\}$: $a_0 = 0$, $a_1$, $a_2$, …, $a_n$, …; $a_n < a_{n+1}$, đáp ứng các điều kiện sau:

1°. Với mọi số tự nhiên $k$ có $a_i$ và $a_j$ từ dãy $\{a_n\}$ sao cho $k = a_i + a_j$ (tôi có thể bằng $j$). 2°. $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{a_n} = 0.$
bài toán này được đề xuất bởi các học sinh người Anh.

3. $p + q = 1$, $q \geq 0$; $p \geq 0$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m$ và $n$ thì bất đẳng thức $(1 - p^n)^m + (1 - q^m)^n \geq 1.$ đúng

(Veneria)

4. Cho $n$ số thực $a_1; a_2; ...; a_n$. Chứng minh rằng
   $$\min_{i \neq j} \left[ \left( a_i - a_j \right)^2 \right] \leq \frac{\sum_{k=1}^{n} a_k^2}{n(n-1)(n+1)}.$$

(Veneria)

5. Chứng minh rằng
   $$\left( 1 - \frac{1}{2^3} \right) \left( 1 - \frac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{n^3} \right) > \frac{1}{2}.$$
   (Tiệp Khắc).

6. Cho một hình thang $ABCD$, $BC \parallel AD$. Trên $CD$ điểm $K$ được lấy, trên $AB$ điểm $L$ được lấy sao cho $AK \parallel CL$. Chứng minh rằng $DL \parallel BK$.

(Hà Lan)

7. Số $x$ là số phức hoặc số âm khi và chỉ khi có số thực dương $a_0, a_1, ..., a_n$ sao cho
   $$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0.$$
   (Tiệp Khắc)

8. Chứng minh rằng
   $$\sqrt[3]{a_1 a_2 a_3 + a_2 a_3 a_4 + a_3 a_4 a_1 + a_4 a_1 a_2} \leq \sqrt[3]{a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_4 + a_1 a_3 + a_1 a_4 + a_2 a_4};$$
   (tất cả $a_i > 0$).

bài toán này được đề xuất bởi thành viên nhóm GDR P. Kröger.

9. Chứng minh rằng
   $$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sin^2 \frac{\pi(2k+1)}{2n}} = n^2.$$
   (Bulgaria)

Chúng tôi hy vọng rằng các mối liên hệ toán học được thiết lập với các đồng nghiệp của chúng tôi từ các quốc gia khác nhau sẽ mang lại lợi ích chung cho tất cả mọi người.

S. Belkin, V. Schwartz

Nhóm Liên Xô tại Tối ưu hóa toán học quốc tế lần thứ XIV. Từ trái sang phải: Serey Belkin [Kết án cấp độ hai], Vladimir Burkov [Kết án cấp độ một], Andrey Golberg [Kết án cấp độ hai], Yury Kolmkov [Kết án cấp độ ba]; được xây dựng bởi: Serey Konagin [Dillom cấp ba], Alexander Shapovalov [Dillom cấp ba], Vladimir Shvarts [Dillom cấp hai].