Khoảng cách giữa các đường giao nhau

Kvant 1972, số 11 tr. 52, 53, 55, 56, 57 Thẻ LCTW

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Xét cơ chế giao nhau của đường thẳng

M.L.Kreizman

Khi lời giải bài toán, việc phân biệt hai trường hợp khi tính khoảng cách giữa các đường giao nhau là rất hữu ích:

cắt các đường thẳng vuông góc;
cắt các đường thẳng và không vuông góc.

Nếu các đường giao nhau $a$ và $b$ vuông góc (trường hợp thứ 1), thì cách dễ nhất để kiểm tra qua một trong các đường giao nhau là mặt phẳng $\alpha$ , vuông góc với một đường thẳng khác (Hình 1; từ một điểm tùy ý $M$ trên đường thẳng $a$ đường vuông góc $OM$ được thả xuống đường thẳng $b$ , mặt phẳng $\alpha$ được xác định bởi hai đường thẳng giao nhau $a$ và $MO$ , vì $b \perp a$ theo điều kiện và $b \perp OM$ theo cách xây dựng, do đó, $b \perp \alpha$ bằng cách tổng quát hóa độ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng). Khi đó, từ điểm $O$ giao nhau của mặt phẳng $\alpha$ và đường thẳng $b$ , cần hạ đường vuông góc $ON$ lên đường thẳng $a$ , $ON$ - ngoại lệ là khoảng cách.

Ví dụ 1. Xác định khoảng cách giữa đường chéo của hình lập phương có cạnh $a$ và đường chéo của mặt cắt nó.

Lời giải. Chúng ta sẽ xác định khoảng cách giữa $B_1D$ và $D_1C$ (Hình 2). Vì $D_1C \perp DC_1$ và $DC_1$ là hình chiếu của $B_1D$ lên mặt phẳng $DD_1C_1C$ nên $D_1C \perp B_1D$ (theo định lý tổng quát về ba đường vuông góc). Từ sự tương ứng của $D_1C \perp DC_1$ và $D_1C \perp B_1D$ suy ra (dựa trên độ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng) rằng $D_1C \perp DB_1C_1$ . Đặt $O$ là giao điểm của $D_1C$ và $DC_1$ . Chúng ta thả từ điểm $O$ đường vuông góc $OK$ xuống $B_1D$ , $OK$ - loại bỏ khoảng cách của các đường giao nhau $B_1D$ và $D_1C$ . Hãy tìm anh ấy. Để làm điều này, chúng ta thay thế các tam giác vuông $OKD$ và $B_1DC_1$ tương tự như $OK: B_1C_1 = OD: B_1D$ . Từ đây

$OK = \frac{a\sqrt{6}}{6}.$

Trước khi chuyển sang các ví dụ tiếp theo, chúng ta chứng minh một định lý biểu thị mối liên hệ giữa các góc của một tam giác có hai mặt phân bố cho nhau.

Định lý 1. Nếu hai mặt của một góc tam giác phân bố lại cho nhau thì cosin của góc phẳng của mặt đối diện với góc hai chiều vuông bằng tích các cosin của các góc phẳng của mặt đó đối diện với góc hai chiều vuông.

Bằng chứng. Trong hình có 3 pl. ASB ⊥ xin vui lòng. BSC, ⇒ ASC = α, ⇒ ASB = β, ⇒ BSC = γ. Chúng ta muốn chứng minh rằng cos α = cos β · cos γ. Để làm điều này, từ điểm M trên cạnh SA, chúng ta bỏ các phép phân phối lại MO cho BS và MN cho SC. Ta nối điểm N và O. Theo định lý về ba bộ phân phối lại thì SC ⊥ NO. Từ △SMO và △SON là

$\cos \beta = \frac{SO}{SM}, \quad \cos \gamma = \frac{SN}{SO}.$

Các biến là các đẳng thức sau: cos β · cos γ = $\frac{SN}{SM}$ , và chúng ta tìm thấy cos α từ △SNM: cos α = $\frac{SN}{SM}$ . Do đó cos α = cos β · cos γ. Định lý đã được chứng minh.

Ví dụ 2. Mỗi cạnh của hình lăng trụ tam giác đều bằng α. Tuy nhiên, từ các cạnh bên nó tạo thành các góc với các cạnh của đáy, mỗi cạnh bằng α. Xác định khoảng cách giữa cạnh này và các cạnh của đế giao nhau với nó.

Lời giải. Cần xác định khoảng cách giữa AA₁ và BC (Hình 4). Biết rằng nếu đường nghiêng xuất phát từ đỉnh của góc

$\text{Рис. 3.}$

tạo thành các góc bằng nhau ở các cạnh của góc này thì hình chiếu nghiêng lên mặt phẳng của góc sẽ là đường phân giác của góc đó. Do đó AO là bicsectrix của góc BAC. Nhưng △ABC đúng, phần tiếp theo của AD bicsectrix sẽ là chiều cao của tam giác này và do đó AD ⊥ BC. Theo định lý tổng quát về ba đường phân phối lại BC ⊥ AA₁, và dựa trên tiêu chuẩn tổng quát về phân phối lại đường thẳng và mặt phẳng BC ⊥ pl. DAA₁. Chúng ta hãy thả nhà phân phối lại DK từ điểm D xuống AA₁; DK là khoảng cách cần thiết giữa BC và AA₁. Đặt ⇒ A₁AO = x; áp dụng Định lý 1 cho tam giác AA₁DC, ta thu được: cos ⇒ A₁AC = cos ⇒ A₁AD · cos ⇒ DAC; cos α = cos x cos 30°. Từ đây

$\cos x = \frac{\cos \alpha}{\cos 30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}\cos \alpha}{3}.$

Vẫn còn phải tìm KD từ △AKD:

$KD = AD \cdot \sin x = \frac{a\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - \cos^2 x} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - \frac{4}{3}\cos^2 \alpha} = \frac{a}{2}\sqrt{3 - 4\cos^2 \alpha} = \frac{a}{2}\sqrt{3 - 4\cos^2 \alpha},$

và $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{5\pi}{6}$ .

Bây giờ chúng ta hãy xem xét trường hợp các đường giao nhau không xác định lại nhau. Vì trong các tính toán đã cho không cần thiết phải xây dựng lại định nghĩa lại cho

giữa các đường thẳng cắt nhau. Một trong những phương pháp này dựa trên định lý về thể tích hình chữ nhật tam giác.

Định lý 2. Thể tích của một đường thẳng tam giác bằng một phần sáu tích chiều dài của hai cạnh giao nhau với khoảng cách giữa chúng và sin của góc giữa chúng.

Bằng chứng. Từ một đỉnh tùy ý ( $B_1$ ) của hình bình hành $AC_1$ , chúng ta vẽ các đường chéo $B_1A$ , $B_1D_1$ , $B_1C$ của các mặt hội tụ tại đỉnh này (Hình 9). Hãy nối các đầu của các đường chéo này với nhau. Chúng ta thu được một hình bình hành $B_1AD_1C$ , được gọi là nội tiếp trong một hình bình hành, và một hình bình hành, ngược lại, được mô tả xung quanh hình bình hành này (có thể dễ dàng xây dựng nó bằng cách vẽ các cặp mặt phẳng song song qua các cạnh đối diện của hình bình hành).

Thể tích của song song là:

$V_{AC_1} = V_{B_1AD_1C} + V_{D_1ADC} + V_{B_1ABC} + V_{AA_1B_1D_1} + V_{CB_1C_1D_1}.$

Bởi vì

$V_{D_1ADC} = V_{B_1ABC} = V_{AA_1B_1D_1} = V_{CB_1C_1D_1}.$

(các đáy của các hình bình hành này bằng vị trí diện tích đáy của hình bình hành và chiều cao của chúng bằng chiều cao $h$ của hình bình hành), khi đó

$V_{B_1AD_1C} = V_{AC_1} - 4V_{D_1ADC} = V_{AC_1} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} Sh = V_{AC_1} - \frac{2}{3} Sh = \frac{1}{3} V_{AC_1}.$

Vì vậy, thể tích của một hình bình hành tam giác nội tiếp là một phần ba

thể tích của song song được mô tả, hoặc sau khi chuyển đổi,

$V_{B_1AD_1C} = \frac{1}{3} V_{AC_1} = \frac{1}{3} Sh = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \varphi \right) \cdot h = \frac{1}{6} AC \cdot B_1D_1 \cdot h \cdot \sin \varphi.$

Khi lời giải bài toán, các đặc điểm của hình bình hành được mô tả có thể được sử dụng để tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau, tùy thuộc vào tính chất của hình bình hành tam giác thẳng đứng. Ví dụ: cố gắng tự mình chứng minh rằng nếu có hai cạnh giao nhau trong một paramid:

a) bằng nhau thì các mặt của hình bình hành được mô tả chứa các cạnh này sẽ là hình chữ nhật;
b) bằng nhau và vuông góc thì các mặt tương ứng sẽ là hình vuông.

Ví dụ 5. Trong một tham số tam giác, các cạnh đối diện (bắt chéo) bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng a, b và c. Tìm sự cân nhắc giữa họ.

Lời giải. Các mặt đối diện của hình song song được mô tả là một hình chữ nhật và do đó bản thân hình song song đó sẽ là một hình chữ nhật (Hình 10). Khoảng cách cần thiết giữa các cạnh giao nhau sẽ bằng khoảng cách giữa các mặt đối diện, tức là các cạnh của một hình bình hành bên phải.

Hãy lập hệ phương trình:

$x^2 + y^2 = a^2,$
$x^2 + z^2 = b^2,$
$y^2 + z^2 = c^2.$

Cộng chúng theo số hạng rồi chia cho 2, ta được

$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2},$

và trừ từng phương trình của hệ khỏi phương trình cuối cùng và lấy căn bậc hai, chúng ta tìm thấy

$x = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + b^2 - c^2)},$
$y = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + c^2 - b^2)},$
$z = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2 - a^2)}.$

Ví dụ 6. Hai cạnh lồi của tam giác tương ứng có chiều dài là 6 cm và 8 cm, bốn cạnh còn lại là 13 cm. Xác định khoảng cách giữa các xương sườn chéo của paramid này.

Lời giải. Vì $AB_1 = B_1C = AD_1 = D_1C$ (Hình 11), tất cả các mặt bên của hình bình hành $AC_1$ đều là hình chữ nhật bằng nhau. Do đó, đáy là hình thoi $ABCD$ , và bản thân hình bình hành là thẳng. Do đó $d(AC; B_1D_1) = BB_1$ , $d(AD_1; B_1C) = d(AB_1; D_1C) = h$ , trong đó $h$ là chiều cao của hình thoi $ABCD$ . Tiếp theo, bạn dễ dàng tìm thấy $h = 4,8$ cm, $BB_1 = 12$ cm (tự làm).

Phương pháp đại số lời giải bài toán để xác định khoảng cách giữa các đường giao nhau dựa trên định lý sau.

Định lý 3. Cho dữ liệu đi qua các đường $a$ và $b$ . Các điểm $A_1, A_2, A_3$ được lấy trên đường thẳng $a$ và các đường vuông góc $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ được thả từ các điểm này xuống đường thẳng $b$ . Sau đó $A_1A_2:A_2A_3 = B_1B_2:B_2B_3$ .

Bằng chứng. Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng tùy ý $\alpha$ qua đường thẳng $b$ (Hình 12) và xét hình chiếu trực giao của đường thẳng $a$ lên mặt phẳng này; các hình chiếu của điểm $A_1, A_2, A_3$ lần lượt được ký hiệu là $A'_1, A'_2, A'_3$ . Từ tính chất của phép chiếu song song ta có

$A_1A_2:A_2A_3 = A'_1A'_2:A'_2A'_3.$

Điểm cuối cùng lần lượt là $A'_1, A'_2, A'_3$ , tính từ điểm $B_1, B_2, B_3$ . Từ định lý ba đường vuông góc suy ra $A'_1B_1 \perp b, A'_2B_2 \perp b, A'_3B_3 \perp b$ , do đó $A'_1B_1 \parallel A'_2B_2 \parallel A'_3B_3$ . Theo định lý về giao tuyến của hai đường thẳng song song, ta có thể viết:

$A'_1A'_2:A'_2A'_3 = B_1B_2:B_2B_3.$

Từ đẳng thức (1) và (2) của không chủ trì, suy ra:

$A_1A_2:A_2A_3 = B_1B_2:B_2B_3.$

Ví dụ 7. Ở đáy SABC paramid có một tam giác vuông đứng $ABC$ có thực đơn hình sin $AB = c$ và một góc nhọn $BAC$ bằng $30^\circ$ . Cạnh bên đi qua

hòn đá AC vuông góc với mặt phẳng đáy và hai hòn đá kia tạo thành một góc với nó cũng bằng 30°. Tính khoảng cách giữa SB và AC.

Lời giải. Hãy tìm hình chiếu của đoạn SB lên đoạn AC. Để làm điều này, từ các điểm S và B, chúng ta hạ các đường vuông góc SO và BC xuống AC (Hình 13) và SK xuống AB; thì Pr_ACSB = OC. Hãy tìm tỉ số $\frac{OC}{SB}$ . Từ đẳng thức $\Rightarrow SKO = \Rightarrow SCO = 30^\circ$ suy ra OK=OC và OB là bisserris của góc ABC. Tiếp theo chúng ta tìm thấy: $BC = AB \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2}c$ ,

$OC = BC \cdot \mathrm{tg} 30^\circ = \frac{c \sqrt{3}}{6},$

$SC = OC \cdot \cos 30^\circ = \frac{1}{3}c,$

$SB = \sqrt{SC^2 + BC^2} = \frac{c \sqrt{13}}{6}.$

Kể từ đây,

$\frac{OC}{SB} = \frac{c \sqrt{3}}{6} : \frac{c \sqrt{13}}{6} = \sqrt{\frac{3}{13}}.$

Từ điểm P tùy ý trên SB kẻ PQ vuông góc với AC; thì hình chiếu của PB lên AC sẽ là QC. Theo Định lý 3, OC:SB = QC:PB, từ đó $\frac{QC}{PB} = \sqrt{\frac{3}{13}}$ ; hãy để $QC = x \sqrt{3}, PB = x \sqrt{13}$ . Áp dụng định lý cosin cho tam giác CPB:

$PC^2 = \frac{c^2}{4} + 13x^2 - 2\frac{c}{2} \cdot x \sqrt{13} \cos \Rightarrow CBP.$

Cơm. 13.

Từ $\triangle SCB$ chúng tôi tìm thấy

$\cos \Rightarrow CBS = \frac{CB}{SB} = \frac{c}{2} : \frac{c \sqrt{13}}{6} = \frac{3}{\sqrt{13}},$

và thay thế vào (3):

$PC^2 = \frac{c^2}{4} + 13x^2 - cx \sqrt{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 13x^2 - 3cx + \frac{c^2}{4}.$

Tiếp theo, từ $\triangle QPC$ ta có

$QP^2 = CP^2 - QC^2 = 13x^2 - 3cx + \frac{c^2}{4} - 3x^2 = 10x^2 - 3cx + \frac{c^2}{4}.$

Giá trị nhỏ nhất $QP^2$ sẽ bằng bình phương khoảng cách giữa các đường giao nhau; hãy tìm anh ấy. Nếu $QP^2 = ax^2 + bx + c$ thì

$x_{\min} = -\frac{b}{2a} = \frac{3c}{20}; \quad (QP^2)_{\min} = 10 \cdot \frac{9c^2}{400} - 3c \cdot \frac{3c}{20} + \frac{c^2}{4} = \frac{c^2}{40};$

$(QP)_{\min} = \frac{c \sqrt{10}}{20}.$

Bài tập

Ở đáy của cạnh SABC có tam giác vuông ABC ( $\Rightarrow C = 90^\circ$ ) với góc vuông BC = a và một góc nhọn α kèm theo. Các gân bên nghiêng với mặt phẳng đáy một góc β. Xác định khoảng cách giữa cạnh huyền AB và cạnh SC cắt nó.
Cạnh đáy của một paramid tam giác đều bằng a. Xác định khoảng cách giữa apthema của paramida và cạnh của đế giao nhau với nó, nếu góc nghiêng của cạnh bên với mặt phẳng của đế là 60°.
Cạnh đáy của tứ giác đều paramid SABCD bằng a và góc phẳng tại đỉnh bằng α. Xác định khoảng cách giữa các cạnh giao nhau của paramid này.