Bài toán M186—M190; F198—F202

45

Nhiệm vụ

M186 — M190; F198 — F202

M186. Tìm tất cả các phương trình lời giải
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$$
cho các mục đích của các số khác 1.
V. Slepenko, học sinh lớp 10

M187. Cho hai điểm A và B trên mặt phẳng. Tìm quỹ tích đỉnh C thứ ba của tam giác ABC có:
a) Chiều cao AA’ bằng cạnh BC;
b) đường trung tuyến AA₁ bằng cạnh AC;
b) trung tuyến AA₁ bằng cạnh BC;
d) chiều cao CC’ bằng trung vị BB₁;
e) chiều cao BB’ bằng trung tuyến CC₁.
M. A. Kvantov

M188. Giữa một số trong 2n thành phố có một kết nối không khí và mỗi thành phố được kết nối với ít nhất n thành phố khác (không kết nối).

Cơm. 1.

Lời giải bài toán từ số đầu tiên có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 3 năm 1973 đến địa chỉ: 117071, Moscow, B-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant», M186, M187 hoặc “… F200”.
Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới phải được gửi trong phong bì riêng. Hữu cơ bài toán được đề xuất xuất bản, vui lòng gửi cùng với giải pháp của bạn cho những bài toán này (trên phong bì ghi: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

Cơm. 2.

giải pháp lồng). Chứng minh rằng ngay cả khi bạn hủy bất kỳ n—1 lời giải nào, bạn vẫn có thể đi từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác bằng máy bay (có chuyển tuyến). Liệt kê tất cả các trường hợp trong đó “sự liên thông” đó bị phá vỡ khi n lời giải bị hủy bỏ.
A. K. Kelmans

M189. Cho đoạn AB, EF và CD đi qua một điểm O, điểm E thuộc đoạn AC và điểm F thuộc đoạn BD. Chứng minh rằng EF nhỏ hơn ít nhất một trong hai đoạn - AB hoặc CD (Hình 1).
D. Yu. Grizovev

M190*. Cho hai đường thẳng a và b trên mặt phẳng. Tại điểm A₁, nằm trên đường a và cách đường b ít hơn 1, bluexa nằm ở vị trí đó. Sau đó, bluexa tuần tự nhảy đến các điểm B₁, A₂, B₂, A₃, B₃, …, được hướng dẫn theo các quy tắc sau (Hình 2):

46

(1) điểm $A_1, A_2, A_3, \dots$ nằm trên đường thẳng $a$, điểm $B_1, B_2, B_3, \dots$ nằm trên đường thẳng $b$;

(2) $A_1B_1 = B_1A_2 = A_2B_2 = B_2A_3 = A_3B_3 = \dots = 1$;

(3) điểm $A_n$ không giống với $A_{n+1}$ trừ khi $A_nB_n \perp a$ (và tương tự, $B_n$ chỉ giống với $B_{n+1}$ nếu $B_nA_{n+1} \perp b$). (Dễ dàng thấy rằng các điều kiện (1) - (3) xác định trình tự các bước nhảy, bắt đầu từ $B_1A_2$, duy nhất.)

Chứng minh rằng nếu góc giữa các đường thẳng $a$ và $b$ thay đổi theo một số hữu tỉ thì đường đi của con chim xanh sẽ tuần hoàn, tức là tại một thời điểm nào đó nó sẽ chạm đến điểm ban đầu $A_1$ và sau đó lần lượt đi qua những điểm $B_2, A_2, B_3, \dots$ như lúc đầu đường đi, và nếu theo một số vô tỷ thì con chim xanh sẽ không chạm vào điểm nào quá hai lần.

F198. Vận động viên trượt băng quyết định giảm tốc độ và khép hai gót chân lại. Mặc dù rất khó khăn (tại sao?), vận động viên trượt băng vẫn cố gắng giữ hai gót chân của mình sát vào nhau. Anh ấy sẽ bước tiếp như thế nào?

G. L. Komkin

F199. Neutron dễ dàng đi qua một lớp chì, nhưng bị giữ lại trong cùng một lớp parafin, nước hoặc hợp chất khác có chứa hydro. Giải thích tại sao.

P. L. Kanutsa.

F200. Do sự phóng điện xung của tụ điện qua khí heli loãng, khí nóng lên đến nhiệt độ $T$. Ước tính các giá trị $T$, nếu hướng vào tụ là $U = 30$ vuông thì điện dung của tụ là $C = 18$ µF và khí chiếm thể tích 10 lít ở áp suất $10^{-2}$ mm rm. cm.

F201. Nếu pin được nối với một điện trở nào đó thì sự phụ thuộc của dòng điện trong mạch vào thời gian sẽ như trong Hình 3 của đường màu đỏ. Nếu một pin khác cùng loại, nhưng đã phóng điện một phần, được nối với cùng một điện trở thì sự phụ thuộc của dòng điện vào thời gian sẽ như trên Hình 3 của đường màu xanh lam. Nếu pin được mắc cùng một điện trở, nối chúng song song thì ban đầu sẽ có dòng điện 1,5 A chạy qua mạch. Vẽ đồ thị về sự thay đổi tiếp theo của dòng điện trong mạch theo thời gian.

Điện trở trong của pin không thay đổi trong quá trình phóng điện.

F202. Một ống có bán kính $r$ chứa đầy chất xốp có mật độ $\rho_0$. Một pít-tông không trọng lượng, chịu tác dụng của một lực không đổi $F$, di chuyển vào trong đường ống, nén chất này đến mật độ $\rho$ (Hình 4). Pít-tông chuyển động với tốc độ bao nhiêu nếu quá trình nén xảy ra đột ngột, tức là bề mặt trong đường ống dường như đang chuyển động với một tốc độ nhất định, về bên phải mà mật độ của chất là $\rho_0$, và mật độ của vết là $\rho$? Tại thời điểm ban đầu, bề mặt trùng với mặt phẳng của piston.