Bài toán M216—M220; F228—F232

60

Bài toán

M216—M220, F228—F232

M216. N người không biết nhau. Cần phải giới thiệu một số người trong số họ với nhau sao cho không có ba người nào có số lượng người quen bằng nhau. Chứng minh rằng điều này có thể thực hiện được với mọi N. (8 điểm)

G. A. Galperin

M217. Cho một n-giác lồi có các cặp cạnh không song song và một điểm bên trong nó. Chứng minh rằng qua điểm này không thể kiểm tra nhiều hơn n dòng, mỗi dòng chia diện tích của n-giác làm đôi. (9 lớp)

E. V. Sallinen

M218. Chứng minh rằng nếu $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ là số dương thì $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \geq 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1)$. (10 lớp)

V. D. Ginzburg

M219. Trong không gian có 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Có bao nhiêu đường song hành khác nhau mà các điểm này đóng vai trò là đỉnh? (10 lớp)

N. V. Vasiliev

M220. Vua đi vòng quanh bàn cờ $8 \times 8$, đã ghé thăm mỗi ô đúng một lần và với nước đi cuối cùng sẽ quay trở lại ô ban đầu. (Nhà vua di chuyển theo quy tắc thông thường: trong một nước đi ông có thể di chuyển theo

61

ngang, dọc hoặc chéo với bất kỳ trường lân cận nào.) Khi đường đi của anh ta được vẽ, nối các tâm của các trường mà anh ta đi qua một cách tuần tự, sẽ thu được một đường đứt nét khép kín không có giao điểm. Độ dài ngắn nhất và lớn nhất mà nó có thể có là bao nhiêu? (Cạnh của ô là 1.) (10 ô)
A. V. Klimov

F228. Ở cuối một khối có chiều dài $L$ và khối lượng $M$ có ​​một khối ngắn có khối lượng $m$ (Hình 1). Tấm ván có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Hệ số ma sát trượt của khối trên bề mặt đế là $\mu$. Tốc độ $V_0$ phải được truyền tới bến tàu để nó trượt ra khỏi khối? (8 lớp)

Cơm. 1.

F229. Một vòng đệm mỏng đồng nhất nằm trên một bề mặt gồ ghề nằm ngang chịu chuyển động quay với vận tốc góc $\omega_0$ và chuyển động tịnh tiến với vận tốc $V_0$ (Hình 2). Tâm của quả bóng đi theo quỹ đạo nào? Trong trường hợp nào quả bóng sẽ di chuyển một quãng đường dài hơn để dừng lại: ở $\omega_0 = 0$ hoặc ở $\omega_0 \neq 0$ ($V_0$ giống nhau trong cả hai trường hợp)? (lớp 8, lớp 9)

Cơm. 2.

F230. Trên một hệ gồm hai quả bóng có khối lượng $m$ được nối với nhau bằng một lò xo, nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn, một quả bóng có khối lượng $M$ tấn công từ bên trái (Hình 3). Một tác động trực diện, hoàn toàn đàn hồi xảy ra. Tìm giá trị gần đúng

Cơm. 3.

tỷ lệ khối lượng $\gamma = \frac{m}{M}$ tại đó va chạm sẽ xảy ra lần nữa. (10 lớp)

F231. Một quả cầu kim loại tích điện có bán kính $R$ được cắt thành hai phần dọc theo một mặt phẳng nằm cách tâm một khoảng $h$ (Hình 4). Tìm lực mà các bộ phận này đẩy lùi. Sạc đầy bóng $Q$. (9 lớp)

Cơm. 4.

F232. Điốt được bao gồm trong mục tiêu được hiển thị trong Hình 5, α. Đặc tính dòng điện-điện áp lý tưởng của diode được thể hiện trong Hình 5b. tụ điện trước

Cơm. 5.

không bị tính phí. Phím $K$ đã đóng. Ở điện trở $R$ khi nạp tụ điện sẽ toả bao nhiêu nhiệt lượng? Công suất tụ điện $C$, e. d.s. nguồn $E$. Điện trở trong của nguồn không đáng kể. (9 lớp)