Tỷ lệ vàng

22

A. D. Bendukidze

Tỷ lệ vàng

Johannes Kepler nói rằng hình học có hai kho báu - định lý Pythagore và tỷ lệ vàng. Và nếu kho báu đầu tiên có thể được so sánh với một thước vàng, thì kho báu thứ hai có thể được so sánh với một viên đá quý.

Học sinh nào cũng biết định lý Pythagore nhưng không phải ai cũng biết tỷ lệ vàng là gì. Vì vậy, chúng tôi quyết định nói với độc giả về viên ngọc này.

Tỷ lệ vàng là gì?

Điểm $C$ được cho là tạo ra tỷ lệ vàng của đoạn $AB$ nếu $AC : AB = CB : AC$. (1)

Vì vậy, tỷ lệ vàng là sự chia tổng thể thành hai phần không bằng nhau, trong đó phần lớn hơn liên quan đến tổng thể còn phần nhỏ hơn liên quan đến phần lớn hơn. Về mặt hình học, tỷ lệ vàng còn được gọi là phép chia một đoạn theo tỷ lệ cực trị và trung bình.

Nếu độ dài của đoạn $AB$ được ký hiệu là $a$ và độ dài của đoạn $AC$ là $x$ thì độ dài của đoạn $CB$ sẽ là $a - x$ (Hình 1) và tỷ lệ (1) sẽ có dạng sau:

$$x : a = (a - x) : x$$ (2)

Từ tỷ lệ này, rõ ràng là với tỷ lệ vàng, chiều dài lớn hơn đoạn thẳng là trung bình hình học, hay như người ta thường nói, trung bình của

Cơm. 1.

tỷ lệ thuận với độ dài của toàn bộ đoạn và phần nhỏ hơn của nó:

$$x = \sqrt{a(a - x)}$$

Dễ dàng nói rằng điều ngược lại cũng đúng: nếu một đoạn được chia thành hai đoạn không bằng nhau sao cho độ dài của đoạn lớn hơn là trung bình hình học của độ dài của toàn bộ đoạn và phần nhỏ hơn của nó, thì chúng ta có tỷ lệ vàng của đoạn này.

Tỷ lệ vàng hình học của đoạn $AB$ có thể được xây dựng như sau: tại điểm $B$ chúng ta tái tạo lại đường vuông góc với $AB$ (Hình 2) và vẽ $BD = 0,5AB$ trên đó; hơn nữa, kết nối các điểm $A$ và $D$, đặt $DE = BD$ sang một bên và cuối cùng, $AC = AE$. Điểm $C$ là điểm mong muốn - nó tạo ra tỷ lệ vàng của đoạn $AB$. Thật ra, chúng ta lưu ý rằng theo định lý Pythagore

$$(AE + ED)^2 = AB^2 + BD^2$$

và xây dựng

$$AE = AC, ED = BD = 0,5AB.$$

Từ những đẳng thức này suy ra rằng

$$AC^2 + AC \cdot AB = AB^2,$$

và từ đây có thể dễ dàng đạt được đẳng thức (1).

Giải phương trình (2) cho $x$, ta thấy rằng

$$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} a \approx 0,62a.$$

Vì vậy, $a - x \approx 0,38 a$. Như vậy, các phần có tỷ lệ vàng lần lượt là 62% và 38% toàn phân khúc.

23

Một chút lịch sử

Tượng đài văn học lâu đời nhất trong đó người ta tìm thấy sự phân chia một đoạn liên quan đến tỷ lệ vàng là “Các yếu tố” của Euclid (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên). Ngay trong Quyển II của Cơ sở dữ liệu, Euclid đã xây dựng tỷ lệ vàng và sau đó sử dụng nó để xây dựng một số đa giác và khối đa diện đều.

Nhưng tỷ lệ vàng đã được biết đến trước Euclid. Đặc biệt, Pythogor và các học trò của ông đã biết đến ông (thế kỷ VI trước Công nguyên). Ngoài triết học và toán học, trong trường phái triết học Pythagoras, họ còn nghiên cứu về sự hài hòa. Trong khi nghiên cứu lý thuyết về hòa âm, Pythogoreans đã đi đến kết luận rằng sự khác biệt về chất trong âm thanh là do sự khác biệt về số lượng giữa độ dài của dây. Điều này đã truyền cảm hứng cho họ và họ cố gắng tiến xa hơn - thể hiện tất cả các khuôn mẫu của thế giới thông qua các con số, tin rằng Chúa đặt các con số làm nền tảng cho trật tự thế giới. Những người theo trường phái Pythogorean về số lượng và mối quan hệ của chúng (và sau này được coi là mối quan hệ của các phân đoạn) đã tính toán những điều huyền diệu, siêu nhiên. Và hình học không phải là không có sự trả thù của nó. Đặc biệt lưu ý ở đây là bất kỳ Pythogoreans nào cho hình ngũ giác hình sao, bao gồm các đường chéo của một hình ngũ giác đều.

Đây là những gì nhà toán học và sử học toán học nổi tiếng van der Waerden viết về điều này trong cuốn sách xuất sắc “Khoa học thức tỉnh”: “Hình này, một biểu tượng của sức khỏe, được dùng làm dấu hiệu nhận dạng cho những người theo trường phái Pythogorean. Khi ở một vùng đất xa lạ, một trong số họ đang nằm trên giường hấp hối và không thể thắp sáng người đàn ông đã chăm sóc mình cho đến khi chết, ông ta đã ra lệnh cho người đó vẽ một đa giác hình ngôi sao trên nhà của mình; Nhiều năm sau, một người theo trường phái Pythagore nhìn thấy tấm biển này và chủ nhân ngôi nhà đã nhận được phần thưởng hậu hĩnh” *).

Hình ngũ giác ngôi sao thú vị đối với chúng ta chủ yếu bởi vì mỗi gót của các đường tạo nên hình này chia phần kia theo tỷ lệ vàng. Thật ra, vì các tam giác ACD và ABE đồng dạng (Hình 3) nên AC : AB = AD : AE. Nhưng AD = BC, và AE = AC, và do đó AC: AB = BC: AC - tỷ lệ tỷ lệ vàng mà chúng ta đã biết. Chính đặc tính này của hình ngũ giác hình sao mà người Pythogorean có thể sử dụng để dựng hình ngũ giác đều, hoặc họ chắc chắn đã biết cách xây dựng tỷ lệ vàng.

Vào đầu thời kỳ Phục hưng, sự quan tâm đến tỷ lệ vàng đã phát triển mạnh mẽ.

*) B. L. van der Waerden. “Khoa học đánh thức”. M., Fizmatiz, 1959, tr. 139.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

24

Luca Pacioli (khoảng 1445 - sau 1509) là một nhà toán học người Ý, người đã viết chuyên luận về tỷ lệ vàng, Tỷ lệ thần thánh.

Bức chân dung Monna Lisa (Gioconda) được vẽ bởi Leonardo da Vinci (1452-1519) - họa sĩ và nhà khoa học vĩ đại người Ý thời Phục hưng. Bức ảnh đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu, họ phát hiện ra rằng bố cục của bức tranh dựa trên “hình tam giác vàng” (chính xác hơn là trên các hình tam giác là các mảnh của một hình ngũ giác hình sao đều đặn).

Trước hết, nó được gây ra bởi vô số ứng dụng của tỷ lệ vàng cả trong hình học và nghệ thuật, đặc biệt là trong kiến ​​trúc. Hậu quả của việc này là sự xuất hiện của cuốn sách “Tỷ lệ thần thánh”, tác giả của cuốn sách này là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 15, Luca Pacioli người Ý. Trong tác phẩm của mình, Pacioli đưa ra mười ba đặc tính của tỷ lệ vàng, mà lần đầu tiên ông gọi những tính chất đó là “đặc biệt”, “không thể diễn tả được”, “xuất sắc nhất”, “siêu nhiên”, v.v. Tuy nhiên, chính tựa đề của cuốn sách đã nói lên thái độ của tác giả đối với chủ đề được miêu tả. Điều thú vị là cuốn sách được minh họa bởi một trong những người khởi xướng việc viết nó, bạn của Pacioli, Leonardo da Vinci vĩ đại. Nhân tiện, chính ông là người đặt ra thuật ngữ “tỷ lệ vàng”.

Các quan sát cho thấy, xét từ góc độ tự nhiên, tỷ lệ vàng có những ưu điểm nhất định. Điều này được xác nhận bởi một thí nghiệm được tiến hành vào cuối thế kỷ trước: trong số mười hình chữ nhật, trong đó có hình chữ nhật “vàng” (ở cạnh bên, tỷ lệ chiều dài cho tỷ lệ vàng), đối tượng phải chọn một hình. Và như vậy, khoảng 22% tổng số đối tượng đã chọn “hình chữ nhật vàng”. Chúng ta không thể bỏ qua thực tế là sách, bưu thiếp, ví, thanh sô cô la và nhiều vật dụng khác có hình dạng giống như một hình chữ nhật màu vàng. Ở đây chúng tôi lưu ý rằng nếu bạn cắt một hình vuông từ hình chữ nhật “vàng” hoặc gắn một hình vuông vào cạnh lớn hơn của hình chữ nhật “vàng”, bạn sẽ lại có được một hình chữ nhật “vàng”.

Được sử dụng rộng rãi trong kiến ​​trúc và nghệ thuật. Nhiều kiệt tác kiến ​​trúc được xây dựng theo tỷ lệ vàng. Tỷ lệ tương tự là nền tảng cho nhiều sáng tạo bất hủ của Phidias, Tishchan, Leonardo da Vinci và Raphael.

25

Các nhà soạn nhạc và tư thế cũng được đưa ra tỷ lệ vàng. Chẳng hạn, người ta biết rằng nhà soạn nhạc xuất sắc người Hungary Béla Bartok đã viết nhiều tác phẩm của mình dựa trên tỷ lệ vàng. Về các tư thế, ở đây trước hết chúng ta nên đặt tên cho tư thế chung của Gruzia là Shota Rustaveli. Như nghiên cứu mới nhất của Viện sĩ G.V. Tsereteli đã chỉ ra, cấu trúc của Sh. Tư thế “Hiệp sĩ đội lốt hổ” của Rustaveli dựa trên tính đối xứng và tỷ lệ vàng. Đặc biệt, trong số 1587 khổ thơ của các tư thế, hơn một nửa - 863 - được xây dựng theo tỷ lệ của phần vàng (xem trang 34, 53).

Tỷ lệ vàng cũng được tìm thấy trong tự nhiên. Hình 4 lặp lại hình ảnh một chiếc vỏ sò được đặt ở trang đầu tiên của trang bìa. Điểm C chia đoạn AB xấp xỉ theo tỉ số vàng.

Tỷ lệ vàng và những đặc tính đáng chú ý của nó

Nếu đặt $x = a\tau$ theo tỷ lệ (2), thì đối với $\tau$ ta có phương trình sau:

$$\tau^2 + \tau - 1 = 0$$

(3)

Nhà điêu khắc Hy Lạp Leochares (thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên) đã tạo ra bức tượng Apollo Belvedere, người đã truyền cảm hứng cho những ý tưởng của người Hy Lạp cổ đại về vẻ đẹp nam giới. Các đường vẽ trong ảnh xác định tỷ lệ cơ bản của cơ thể. Những tỷ lệ này có liên quan đến tỷ lệ vàng.

Căn dương của phương trình này bằng tỷ số của tỷ lệ vàng:

$$\tau = \frac{x}{a} = \frac{a-x}{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Khái niệm này là một con số đáng chú ý có một số tính chất thú vị. Dưới đây là một số trong số họ.

1. Tính toán trực tiếp cho thấy

$$\tau = 0,618033989\ldots, \frac{1}{\tau} = 1,618033989\ldots$$

—nghịch đảo của $\tau$ lớn hơn chính $\tau$ một đơn vị. Dễ dàng kiểm chứng rằng đây là số dương duy nhất có tính chất này. Thật vậy, nếu dương $z$ thỏa mãn sự tương ứng $\frac{1}{z} = 1 + z$, thì $z$ phải là nghiệm của phương trình $z^2 + z - 1 = 0$. Nhưng phương trình này có một nghiệm dương duy nhất: $z = \tau$.

26

2. Viết lại đẳng thức (3) dưới dạng $\tau = \frac{1}{1 + \tau}$ và thay $\frac{1}{1 + \tau}$ thay vì $\tau$ vào vế phải của đẳng thức này, ta thu được:

$$\tau = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \tau}}.$$

Quá trình này được hỗ trợ và kết quả là chúng tôi thu được các biểu diễn sau của số $\tau$ dưới dạng phân số liên tục vô hạn*):

$$\tau = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$$

Người ta không thể không lưu ý đến sự đơn giản tột độ của bài trình bày này!

3. Đây là một cách thể hiện khác của số $\tau$:

$$\tau = \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.$$

Để hiểu ý nghĩa của đẳng thức (5), chúng ta cùng nghiên cứu trình tự $\sqrt{1}, \sqrt{1 + \sqrt{1}}, \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}, \dots,$

số hạng chung của nó (chúng tôi biểu thị bằng $\varphi_n$) chứa các căn thức $n$.

Rõ ràng ngay rằng $\{\varphi_n\}$ là một dãy tăng dần. Hơn nữa, nó còn hạn chế. Thật vậy, vì $\varphi_1 = 1 < 2$ và $\varphi_{n+1} = \sqrt{1 + \varphi_n}$, thì từ $\varphi_n < 2$ dẫn đến $\varphi_{n+1} < \sqrt{3} < 2$, và bằng quy nạp chúng ta kết luận rằng $\varphi_n < 2$ với mọi $n$ (tự nhiên) bất kỳ.

*) Phân số tiếp tục được thảo luận trong các bài viết của N. M. Beskin («Kvant» Số 1, 8, 1970). Bạn có thể tìm thấy phần trình bày chi tiết hơn trong cuốn sách của A. Ya. Khinchin “Phân số liên tục” (M., Fizmatgiz, 1961), cũng như trong sách giáo khoa lớp 9 trung học cơ sở chuyên ngành toán học “Đại số” của N. Ya. Vilenkin và cộng sự. (M., “Prosveshchenie”, 1968).

Vì vậy, $\{\varphi_n\}$ là một dãy số tăng và bị chặn. Và như chúng ta đã biết, dãy như vậy là dãy hội tụ. Biểu thị giới hạn của dãy $\varphi_n$ bằng $\varphi$, ta có thể viết: $\varphi = \lim_{n \to \infty} \varphi_n = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}.$

Mặt khác, chuyển đến giới hạn trong đẳng thức $\varphi_{n+1} = \sqrt{1 + \varphi_n}$, ta thu được: $\varphi = \sqrt{1 + \varphi_n}$.

Như vậy, số (dương) $\varphi$ là nghiệm của phương trình bậc hai $\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$, và số $\psi = \frac{1}{\varphi}$ là nghiệm của phương trình $\left(\frac{1}{\psi}\right)^2 - \frac{1}{\psi} - 1 = 0$, hoặc nhân với $-\psi^2$, $\psi^2 + \psi - 1 = 0$, từ đó $\psi = \tau$, $\varphi = \frac{1}{\tau}$, ta thu được đẳng thức (5). Và ở đây sự đơn giản tột độ của cách trình bày sẽ đi vào đầu bạn!

Xấp xỉ số $\tau$ bằng số hữu tỷ

Biểu diễn (4) rất thuận tiện cho việc tính gần đúng số vô tỉ $\tau$ bằng số hữu tỉ. Với mục đích này, chúng ta hãy chuyển sang phân số “thích hợp”:

$$\tau_1 = \frac{1}{1}, \quad \tau_2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}, \quad \tau_{(3)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}$$

và nói chung cho bất kỳ $n$ nào

$$\tau_n = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}$$

Chuỗi của các phân số này có số giới hạn $\tau$ và do đó mỗi $\tau_n$ là giá trị gần đúng của số này. Tính toán trực tiếp cho thấy

27

$$\tau_1 = \frac{1}{1}, \tau_2 = \frac{1}{2}, \tau_3 = \frac{2}{3}, \tau_4 = \frac{3}{5}, \dots$$

Chuỗi doby này được xây dựng theo một định luật rất đơn giản: tử số của mỗi doby bằng mẫu số của doby trước đó, và mẫu số là tổng của tử số và mẫu số của cùng một doby. Điều gì sẽ xảy ra tiếp theo? Liệu mô hình này có đúng không? Thật dễ dàng để chứng minh rằng điều này là đúng. Thật vậy, như có thể thấy từ công thức (6), các dobies phù hợp lân cận $\tau_n$ và $\tau_{n+1}$ có liên hệ với nhau bởi mối quan hệ

$$\tau_{n+1} = \frac{1}{1 + \tau_n},$$

và do đó từ đẳng thức $\tau_n = \frac{m}{k}$ suy ra $\tau_{n+1} = \frac{k}{m + k}$.

Định luật đơn giản về sự hình thành các số bổ sung phù hợp này giúp bạn có thể dễ dàng viết ra chuỗi của chúng:

$$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{8}{13}, \frac{13}{21}, \frac{21}{34}, \dots$$

Từ lý thuyết về các dobies chuỗi, người ta biết rằng các dobies phù hợp với số lẻ sẽ giảm dần và tiến gần đến số tạo ra các dobies này ở bên phải, và các dobies có số chẵn sẽ tăng lên và tiến đến cùng số đó ở bên trái. Áp dụng tính chất này trong trường hợp của chúng ta, chúng ta có thể viết:

$$\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{8}{13} < \frac{21}{34} < \frac{55}{89} < \dots < \tau < \dots < \frac{34}{55} < \frac{13}{21} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3} < \frac{1}{1}$$

Kết nối với số Fibonacci

Dãy số Fibonacci được gọi là dãy có hai số hạng đầu tiên bằng 1, mỗi số hạng tiếp theo là tổng của hai số hạng trước đó *). Do đó, chuỗi này (chúng tôi biểu thị nó bằng $\{u_n\}$)

*) Vorobiev N.N. “Số Fibonacci.” M., “Khoa học”, 1969.

Đây là số đầu tiên của dãy này: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Nhớ lại các phép tính gần đúng của số m bằng các phép cộng thích hợp, chúng ta sẽ nhận thấy rằng tỷ lệ của bất kỳ số hạng nào của dãy Fibonacci với số hạng tiếp theo là phép cộng phù hợp của số $\tau$, nghĩa là giá trị gần đúng của tỷ lệ của tỷ lệ vàng. Phép tính gần đúng này càng tốt thì số hạng được lấy càng lớn.

Nếu lấy ba số hạng liên tiếp: $u_n, u_{n+1}, u_{n+2}$, thì các số $\frac{u_n}{u_{n+1}}$ và $\frac{u_{n+1}}{u_{n+2}}$ là các phần mở rộng phù hợp lân cận của số $\tau$ và một trong các phần mở rộng này lớn hơn $\tau$ và phần mở rộng còn lại nhỏ hơn.

Cuối cùng, chúng tôi đặt ra câu hỏi sau: làm thế nào để chia số nguyên $a$ thành hai phần nguyên sao cho chúng có liên quan đến $\tau$?

Vì $\tau$ là một số vô tỷ nên việc chia như vậy tất nhiên là không thể; cái mà chúng ta quan tâm chỉ có thể xấp xỉ bằng $\tau$. Sự gần đúng này là gì? Đáp số Câu hỏi này được trả lời bằng lý thuyết cộng chuỗi.

Đặt mẫu số của doby thích hợp $\tau_n$ là $a$. Chúng ta hãy xem xét tập hợp tất cả các dobe có mẫu số không lớn hơn $a$. Hóa ra trong số các dobe này, số gần nhất với số $\tau$ chính xác là $\tau_n$.

Không có mẫu số nào của dobei phù hợp là một số hạng của dãy Fibonacci, vì vậy nếu $a$ là một số hạng của dãy Fibonacci, thì chia $a$ cho $\tau_n$ sẽ là một xấp xỉ tốt của tỷ lệ vàng.

Do đó, các số là thành viên của dãy Fibonacci có thể được chia thành hai phần nguyên theo tỷ lệ vàng với độ gần đúng tốt. Ví dụ: tỷ lệ vàng của số 8 cho (3,5), số 13 - (5,8), v.v.