Золотое сечение

22

А. Д. Бендукидзе

Золотое сечение

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами — теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе — с драгоценным камнем.

Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение — далек не все. Вот мы и решили рассказать читателям об этом драгоценном камне.

Что такое золотое сечение?

Говорят, что точка $C$ производит золотое сечение отрезка $AB$, если $AC : AB = CB : AC$. (1)

Итак, золотое сечение — это такое деление целого на две неравные части, при котором больше часть так относится к целому, как меньше — к больше. В геометрическе золотое сечение называется также делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

Если длину отрезка $AB$ обозначает через $a$, а длину отрезка $AC$ — через $x$, то длина отрезка $CB$ будет $a - x$ (рис. 1), и пропорция (1) примет следующий вид:

$$x : a = (a - x) : x$$ (2)

Из этой пропорции видно, что при золотом сечении длина больше отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее про-

Рис. 1.

порциональное длин всего отрезка и его меньше части:

$$x = \sqrt{a(a - x)}$$

Легко сообщить, что верно и обратное: если отрезок разбит на два неравных отрезка так, чтолина большего отрезка есть среднее геометрическое длин всего отрезка и его меньше части, то мы имеем золотое сечение данного отрезка.

Геометрические золотое сечение отрезка $AB$ можно построить следующим образом: в точке $B$ воспставляем перpendикуляр к $AB$ (рис. 2) и на нем откладываем $BD = 0,5AB$; далее, соединив точки $A$ и $D$, откладываем $DE = BD$ и, наконец, $AC = AE$. Точка $C$ является искомой — она производит золотое сечение отрезка $AB$. В самом деле, заметим, что по теореме Пифагора

$$(AE + ED)^2 = AB^2 + BD^2$$

и построению

$$AE = AC, ED = BD = 0,5AB.$$

Из этих равенств следует, что

$$AC^2 + AC \cdot AB = AB^2,$$

а отсюда уже легко получается равенство (1).

Решая уравнение (2) относительно $x$, мы находим, что

$$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} a \approx 0,62a.$$

Значит, $a - x \approx 0,38 a$. Таким образом, части золотое сечение составляет приблизительно 62 % и 38 % всего отрезка.

23

Немного истории

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается деление отрезка в отношении золотого сечения, являются «Начала» Евклида (III в. до н. э.). Уже во II книге «Начала» Евклид строит золотое сечение, а в дальнейшем применяет его для построения некоторых правильных многоугольников и многогранников.

Но золотое сечение было известно и до Евклида. В частности, знали о нем Пифогор и его ученики (VI век до н. э.). В философской школе Пифогора помимо философии и математики изучали и гармонию. Занимаясь теории гармонии, пифогорейцы пришли к заключению, что качественные отличия звуков обусловлены количественными различиями между длинами струн. Это вдохновило их, и они постарались пояты дальше — выразить все закономерности мира через числа, полагая, что в основу мирового порядка бог положил именно число. Позному пифогорейцы в числах и их отношениях (а последние рассматривались как отношения отрезков) исчисали магический, сверхъестественное. И в геометрии не обошлось без мстики. Здесь особо следует отметить любые пифогорейцы к звездчатому пятуугольнику, составленному из диагоналей правильного пятуугольника.

Вот что пишет об этом известный математик и историк математики ван дер Варден в своей превосходной книге «Пробуждающаяся наука»: «Эта фигура, символь здоровья, служила опознавательным знаком для пифогорейцев. Когда на чужбине один из них лежал на смертном одре и не мог запалить человеку, который ухаживал за ним вплоть до его кончины, то он велел ему изобразить на своем жилище звездчатый многоугольник; если когда-нибудь mismo пройдет пифогореец, то он не преминет осведомиться об этом. Действительно, несколько лет спустя один пифогорец увидел этот знак, и хозяйн дома получил богатое вознаграждение» *).

Звездчатый пятуугольник для нас интересен в первую очередь тем, что каждая из пяты линей, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения. В самом деле, так как треугольники ACD и ABE подобны (рис. 3), то AC : AB = AD : AE. Но AD = BC, а AE = AC, и поэтому AC : AB = BC : AC — уже известная нам пропорция золотого сечения. Именно это свойство звездчатого пятуугольника и могли использовать пифогорейцы для построения правильного пятуугольника, либо строить золотое сечение они, безусловно, умели.

К началу эпохи Возрождания успешился интерес к золотому сечению.

*) Б. Л. ван дер Варден. «Пробуждающаяся наука». М., Физматиз, 1959, с. 139.

Рис. 2.

Рис. 3.

24

Лука Пачоли (около 1445 — позже 1509) — итальянский математик, написавший трактат о золотом сечения «Божественная пропорция».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) был написан Леонардо да Винчи (1452—1519) — генеральным иtalяянским художником и ученым эпохи Возрождания. Картина привлекла внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на «золотых треугольниках» (точнее, на треугольниках, являющихся кусками правильно звездчатого пятнугольника).

Он был вызван, в первую очередь, многочисленными применениями золотого сечения как в самой геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Следствием этого явилось появление книги «Божественная пропорция», автором которого был крупнейший математик XV века иальнаяец Лука Пачоли. В своем труде Пачоли приводит тринадцать свойств золотого сечения, которое он сначала такими эпитетами, как «исключительное», «несказанное», «превосходнейшее», «сверхъестестенное» и так далее. Впрочем, называние книги само говорит об отношении автора к описываемому предмету. Небезынтересно, что иллюстрировал книгу один из инцицаторов ее написания, друг Пачоли, великий Леонардо да Винчи. Между прочим, именно он ввел сам термин «золотое сечение».

Наблюдения показывают, что с естеческой точки золотое сечение имеет определенные достоинства. Это подтверждается экспериментом, который был проведен в конце прошлого века: из десяти прямоугольников, среди которых были «золотой» (с стороны, относение длины которых давало золотое сечение), испытуемый должен был выбрать один. И вот, около 22% общего числа испытуемых выбрало именно «золотой прямоугольник». Нельзя обойти молчанием и то, что книги, почтовые открытки, бумажники, шоколадные плитки и множество других предметов имеют форму золотого прямоугольника. Отметим здесь же, что если от «золотого» прямоугольника отрезать квадрат или к большей сторене «золотого» прямоугольника пристроить квадрат, то получится снова «золотой» прямоугольник.

Широкое применение находится в архитектуре и искусстве. Множество архитектурных шеедевров построено по пропорции золотого сечения. Эта же пропорция лежит в основе многих бессмертных творений Фидия, Тищана, Леонардо да Винчи, Рафаэля.

25

Отдали дать золотому сечению также композиторы и позты. Известно, например, что на золотом сечении стройл многое свой произведение выдающийся венгерский композитор Бела Барtok. Что же касается позтов, то здесь в первую очередь следует назвать генерального грузинского позта Шота Руставели. Как показали новейшие исследования академика Г. В. Церетели, в основе строения позмы Ш. Руставели «Витязь в тигровой шкрере» положены симметрия и золотое сечение. В частности, из 1587 строф позмы больше половины — 863 — построены по пропорции золотого сечения (см. стр. 34, 53).

Золотое сечение встречает и в природа. На рисунке 4 повторено изображение раковины, помещенное на первой странице обложки. Точка C делит отрезок AB приблизительно в «золотом отношении».

Отношение золотого сечения и его замечательные свойства

Если в пропорции (2) положить $x = a\tau$, то относительно $\tau$ получится следующое уравнение:

$$\tau^2 + \tau - 1 = 0$$

(3)

Греческий скульптор Леохар (4 в. до н. э.) создал статую Аполона Бельведерского,vollотившего представления древних греков о мужской красоте. Линии, проведенные на снимке, определяют основные пропорции тела. Эти пропорции связаны с золотым сечением.

Положительный корень этого уравнения равен относению золотого сечения:

$$\tau = \frac{x}{a} = \frac{a-x}{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Это понятие замечательное число, обладающее рядом интересных свойств. Вот некоторые из них.

1. Непосредственные вычисления показывают, что

$$\tau = 0,618033989\ldots, \frac{1}{\tau} = 1,618033989\ldots$$

—число, обратное $\tau$, на единицу больше самого $\tau$. Легко проверить, что это — единственное положительное число, обладающее таким свойством. В самом деле, если положительное $z$ удовлетворяет соответствию $\frac{1}{z} = 1 + z$, то $z$ должно быть корнем уравнения $z^2 + z - 1 = 0$. Но это уравнение имеет единственный положительный корень: $z = \tau$.

26

2. Переписав равенство (3) в виде $\tau = \frac{1}{1 + \tau}$ и подставив в правую часть этого равенства $\frac{1}{1 + \tau}$ вместо $\tau$, получим:

$$\tau = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \tau}}.$$

Этот процесс поддерживает в результате мы получим следующие представления числа $\tau$ в виде бесконечной цепной дроби*):

$$\tau = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$$

Нельзя не отметит предельную простоту этого представления!

3. Вот еще одно представление числа $\tau$:

$$\tau = \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.$$

Чтобы придать смысл равенству (5), изучим последовательность $\sqrt{1}, \sqrt{1 + \sqrt{1}}, \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}, \dots,$

общий член которого (обозначим его через $\varphi_n$) содержит $n$ радиkalов.

Непосредственно видно, что $\{\varphi_n\}$ — возрастоящая последовательность. Кроме того, она ограничена. В самом деле, так как $\varphi_1 = 1 < 2$ и $\varphi_{n+1} = \sqrt{1 + \varphi_n}$, то из $\varphi_n < 2$ следует, что $\varphi_{n+1} < \sqrt{3} < 2$, и по индукции заключаем, что $\varphi_n < 2$ для любого (натурального) $n$.

*) О цепных дробях рассказано в статьях Н. М. Бескина («Квант» № 1, 8, 1970). Более подробное изложение можно найти в книге Хинчин А. Я. «Цепные дроби» (М., Физматгиз, 1961), а также в учебном пособии для 9-х классов средних школа с математической специализцией «Алгебра» Виленкина Н. Я. и др. (М., «Просвещение», 1968).

Итак, $\{\varphi_n\}$ — возрастоящая, ограниченная последовательность. А как известно, такая последовательность является сходящейся. Обозначив предел последовательности $\varphi_n$ через $\varphi$, можно написать: $\varphi = \lim_{n \to \infty} \varphi_n = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}.$

С другой стороны, переход к пределу в равенстве $\varphi_{n+1} = \sqrt{1 + \varphi_n}$, получим: $\varphi = \sqrt{1 + \varphi_n}$.

Таким образом, (положительное) число $\varphi$ является корнем квадратного равеннения $\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$, а число $\psi = \frac{1}{\varphi}$ — корнем равенения $\left(\frac{1}{\psi}\right)^2 - \frac{1}{\psi} - 1 = 0$, или умножая на $-\psi^2$, $\psi^2 + \psi - 1 = 0$, откуда $\psi = \tau$, $\varphi = \frac{1}{\tau}$ — получаем равенство (5). И здесь бросятся в глава предельная простота представления!

Приближение числа $\tau$ рациональными числами

Представление (4) очень удобно для приближения irrationalного числа $\tau$ рациональными числами. С этой целью обратимся к «подходящим» дробям:

$$\tau_1 = \frac{1}{1}, \quad \tau_2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}, \quad \tau_{(3)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}$$

и вообще для любого $n$

$$\tau_n = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}$$

Послеовательность этих дробей имеет предел число $\tau$, и поэтому каждое $\tau_n$ является приближением этого числа. Непосредственные вычисления показывают, что

27

$$\tau_1 = \frac{1}{1}, \tau_2 = \frac{1}{2}, \tau_3 = \frac{2}{3}, \tau_4 = \frac{3}{5}, \dots$$

Этот ряд добей построен по очень простому закону: числитель каждой доби равен знаменателю предыдущей доби, а знаменатель — сумме числителя и знаменателя той же доби. А как будет дальше? Сохраняется ли эта закономерность? Легко доказать, что это так. В самом деле, как видно из формулы (6), соседние подходящие доби $\tau_n$ и $\tau_{n+1}$ связываны соотношением

$$\tau_{n+1} = \frac{1}{1 + \tau_n},$$

и поэтому из равенства $\tau_n = \frac{m}{k}$ следует, что $\tau_{n+1} = \frac{k}{m + k}$.

Этот простой закон образования подходящих добей числа дает возможность легко выписать их последовательность:

$$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{8}{13}, \frac{13}{21}, \frac{21}{34}, \dots$$

Из теории цепных добей известно, что подходящие доби с нечетными номерами убывают и приближаются к порождающей эти доби числу справа, а доби с четными номерами возрастают и приближаются к тому же числу слева. Применяя это свойство в нашем случае, можно написать:

$$\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{8}{13} < \frac{21}{34} < \frac{55}{89} < \dots < \tau < \dots < \frac{34}{55} < \frac{13}{21} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3} < \frac{1}{1}$$

Связь с чисlami Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи называется последовательностью, первый два члена которого равны 1, а каждой последующей — сумме двух предыдущих *). Таким образом, эта последовательность (обозначим ее через $\{u_n\}$)

*) Воробьев Н. Н. «Числа Фибоначчи». М., «Наука», 1969.

Вот первые этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Вспомним о приближениях числа т подходящими добями, мы заметим, что отношение любого члена последовательности Фибоначчи к последующему члену является подходящей добью числа $\tau$, то есть приближенным значением отношения золотого сечения. Это приближение тем лучше, чем больше номер взятого члена.

Если же взяты три последовательных члена: $u_n, u_{n+1}, u_{n+2}$, то числа $\frac{u_n}{u_{n+1}}$ и $\frac{u_{n+1}}{u_{n+2}}$ являются соседними подходящими добями числа $\tau$, причем одна из этих добей больше $\tau$, а другая меньше.

Наконец, поставим следующее вопрос: как разделить целое число $a$ на две целые части так, чтобы их относительно $\tau$?

Так как $\tau$ — irrationalное число, то такое деление, конечно, невозможно, интересующое нас относительно может лишь приближенно равнять $\tau$. Каково же это приближение? Ответ на этот вопрос дает теория цепных добей.

Пусть знаменатель подходящей доби $\tau_n$ есть $a$. Расмотрим множество всех добей со знаменателями, не большими $a$. Оказывается, из множества этих добей близке к числу $\tau$ находится именно $\tau_n$.

No знаменатель подходящей добей является членом последовательности Фибоначчи, поэтому если $a$ — член последовательности Фибоначчи, то деление $a$ с помощью $\tau_n$ будет хорошо приближением золотого сечения.

Таким образом, разделить золотым сечением на две целые части с хоршим приближением можно числа, являющиеся членами последовательности Фибоначчи. Например, золотое сечение числа 8 дает (3,5,) числа 13 — (5,8) и т. д.